有一颗植物，茎上长出一片长长的叶子……
叶子受到重力的作用弯曲下来…………变成这样一个图………………




已知叶子的质量，现阶段假设质量是均匀分布的（就是暂时先假设叶子就是一个长方条…………截面积也先算是常数好了……）。
同时还知道叶茎连接处的夹角（假设茎是垂直于地面的）……
该怎样表达出叶子上任意一点与茎（或者地面）的夹角和叶子的弹性模度（elasticity module?或者其他随便什么可以描述弹性的量？）之间的关系呢？

感觉叶子无非受到重力和自身的弹力作用，这里面应该不缺其他参数了，但是……奈何物理太差，有关弹力部分更是不懂，这个力怎么作用的分析不出来（是不是要用到弹性力矩之类的东西？？
）…………求物理高手相助~~~~

无比感谢~~~~

附件里我写了点粗略的分析，看看有没有用。

A讲了分析力学的做法， 但是因为你的问题没有小变量，所以解析比较难做（不过分析力学框架下还是可以数值解的）

B和C讲了在假设一种具体的曲线形式（B: 弧线）（曲线带可调参数，对弧线来说就是半径）的情况下， 怎么通过最小化能量来找到弹性系数和参数之间的关系。而参数本身又可以通过fit你的曲线来得到，这样可以估算k。可以这样理解：本来这个曲线y = y(x)可以看成无限维的矢量（每个x点的y为一个分量），所以很难控制，现在曲线的维度变成了参数的个数，最小化能量就变得很简单了。

不过这样得到的k只是一个phenomenological的东西，只能用来大致表征某种意义上的“硬度”或者“弹性”

数学推导不保证准确哈

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'10/1/29 换一个坐标系似乎更简单. 低调更新~~

(1) 平衡时曲线的形状 (y = y(x))
(2) 曲线上每点的弹性系数 (k = k(x))
这里x是任何一种parameterization, 比如可以是该点到根部的曲线长度, 或者就是水平位置.

(1)和(2)是一一对应的, 你要是想知道每点的弹性系数, 就必须要先知道曲线的形状. 反之亦然. 你这个问题到底什么是已知的?

如果你两个都不知道, 那只有先build其中一个的model了. 物理上会假设比如叶子的材料均匀, 这样 k(x)就只是叶子的外形的函数(不是弯曲形状, 是profile).

1. 这个未必是弹性问题. 比如你摘了叶子平铺在桌子上, 叶子还有弯曲, 说明是范性形变.

2. 我不太明白你说的这个模型是什么意思. 假设你想找fitting用的函数. 你是有很多种类不同的叶子, 所以每种要用不同的函数来fit(或者用同样的函数形式, 不同的参数) (fine-tuning parameter, e.g., all using sin(kx), but different k for different kind)? 还是你的叶子都是同一个种类的, 所以要找一个合理的函数来fit (fine-tuning functional form, e.g., exp() or log() or cos()..)?

如果是前者的话, 最简单的是假设k是常数 -- 这个其实也不简单, 因为你可以想像, 长2L的叶子, 前一半的形状不会和长L的叶子的形状一样的.

后者的话..这个就比较烦了, 看你想做数值还是解析

等我跟家里skype完哈

材料高人marisa出现了..你说的那个虚功原理, 跟最小化作用量应该是一回事. 我那个做法是把叶子等效为1维问题, 而且长度没有伸缩. 如果允许长度伸缩 (roughly speaking: compressible in 1d), 那个拉格朗日里就会多一项dy/dx ^ 2, 但这项的作用是把两端中间往下拉 (比如一根橡皮筋两端固定, 那么重力作用下橡皮筋会往下垂)

to 折光: 植物的受力和光合作用有关么? 还是只是受力后形成的形状才和光合作用有关呢? (比如单棵的受光面积分部以及多棵时的相互遮盖模式?)

另外关于fitting的问题. 物理里面其实很多问题只是原则上知道怎么解, 实际解不动, 这个时候就通常用变分法, 就是猜一个解的形式, 然后去最小化某种能量函数 (经济物理: 最大化赚的钱..) 来匹配猜的解里的参数. 宏牛和我们这种小弟的区别就在猜解的能力上..美其名曰物理直觉..

说回你的问题. 你的解的形式要符合两点: 1, 初始角度 (显然); 2, 在叶子无限长的时候, 应该有一个类似于垂直向下生长的渐进行为 (比如吊兰的叶子?) 所以假如初始角度是90度 (横向长), 那我会用类似 y = A/x^n + B 来模拟, 因为 1/x^n很自然提供了一个垂直方向的渐进行为. 你可以考虑一下怎么把初始角度加进去, 比如乘上一个只在初始位置处影响比较大的函数

嗯, 那就不要拘泥在力学模型上, 把精力放在找一个好函数上吧~

嗯, 物理的具体用处就是大致给一个你解里的参数之间的关系吧. 事后诸葛~