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标 题: 千年之交话数学-二十一世纪对研究工作的挑战-Poincar
发信站: 野百合海外测试站 (Sat Apr 9 04:31:22 2005)
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标 题: 千年之交话数学-二十一世纪对研究工作的挑战-2
发信站: 南京大学小百合站 (Fri Dec 8 11:01:42 2000), 站内信件
千年之交话数学-二十一世纪对研究工作的挑战-Poincare猜想
Poincare（e上有闭音符号，不知道怎么敲，呵呵）猜想这个问题之所以使人困惑是由于它
是那样的基本又似乎那样的简单。在Poincare时代，即一个实际前，这个问题甚至连同到
整个拓扑学都被看成是平凡易事——拓扑学主要是由Poincare创立的。然而时至今日，拓
扑学已经是数学中一个必不可少的有意义的子领域。
粗略的说，拓扑学是关于结构和空间基本性质的学科。例如一个球面可以拉伸、压缩，以
各种方式取弯曲，只要不撕破他、戳破它，（在拓扑学家的眼里）它仍然是个球。在拓扑
学家看来，一个炸面饼圈和一个咖啡杯是一样的，因为它们中的每一个都可以揉成同一个
基本形状，既有一个孔的环状体或一个实心轮胎。拓扑学家特别感兴趣的是流形，它意味
着“具有多重特性或形式”。例如，一个足球是一个两维流形或两维球；我们可以按我们
自己的方式任意使用它，只要它没有破裂他就仍然是个足球。
拓扑学家寻求的是去识别所有可能的流形，包括宇宙的形状——这正是Poincare猜想的主
题。两维的情形相对容易些，在十九世纪末就已经作出来了。检验一个流行是否是一个二
维球也是直接了当的。试想在一个足球表面上放一个橡皮箍，如果它不离开表面就可以缩
成一个点，而且放在表面的任意地方都行，则这个球必是二维球面；我们称它是单连通的
。
1904年Poincare猜想，这个在两维情形是对的事实在三维时也成立，既任何的单连通的三
维流形（正如我们所在的宇宙）是个三维球。听起来它在直观上是显然的，而且没有人曾
证明过不存在假的三维球，故而此猜想仍然没有得到证明。令人惊奇的是，对于严格大于
三的所有高维情形，等价的Poincare猜想都有了证明，惟独三维没有。
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生活中的失败往往是因为当人们决定放弃努力的时候
没有认识到他们距成功是多么的近。
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