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标 题: 千年之交话数学-二十一世纪对研究工作的挑战-Poincar
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标 题: 千年之交话数学-二十一世纪对研究工作的挑战-2
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千年之交话数学-二十一世纪对研究工作的挑战-Poincare猜想
Poincare(e上有闭音符号,不知道怎么敲,呵呵)猜想这个问题之所以使人困惑是由于它
是那样的基本又似乎那样的简单。在Poincare时代,即一个实际前,这个问题甚至连同到
整个拓扑学都被看成是平凡易事——拓扑学主要是由Poincare创立的。然而时至今日,拓
扑学已经是数学中一个必不可少的有意义的子领域。
粗略的说,拓扑学是关于结构和空间基本性质的学科。例如一个球面可以拉伸、压缩,以
各种方式取弯曲,只要不撕破他、戳破它,(在拓扑学家的眼里)它仍然是个球。在拓扑
学家看来,一个炸面饼圈和一个咖啡杯是一样的,因为它们中的每一个都可以揉成同一个
基本形状,既有一个孔的环状体或一个实心轮胎。拓扑学家特别感兴趣的是流形,它意味
着“具有多重特性或形式”。例如,一个足球是一个两维流形或两维球;我们可以按我们
自己的方式任意使用它,只要它没有破裂他就仍然是个足球。
拓扑学家寻求的是去识别所有可能的流形,包括宇宙的形状——这正是Poincare猜想的主
题。两维的情形相对容易些,在十九世纪末就已经作出来了。检验一个流行是否是一个二
维球也是直接了当的。试想在一个足球表面上放一个橡皮箍,如果它不离开表面就可以缩
成一个点,而且放在表面的任意地方都行,则这个球必是二维球面;我们称它是单连通的
。
1904年Poincare猜想,这个在两维情形是对的事实在三维时也成立,既任何的单连通的三
维流形(正如我们所在的宇宙)是个三维球。听起来它在直观上是显然的,而且没有人曾
证明过不存在假的三维球,故而此猜想仍然没有得到证明。令人惊奇的是,对于严格大于
三的所有高维情形,等价的Poincare猜想都有了证明,惟独三维没有。
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生活中的失败往往是因为当人们决定放弃努力的时候
没有认识到他们距成功是多么的近。
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