数学千古事，得失寸心知--记厄尔米特

前记：原创来自清华，几经转载，作者名字已丢失了。本文略有增益，不敢掠美，特此说
明。

期末考试马上来临，讲个故事给孩儿们打打气。

爱因斯坦不是考试的料，地球人都知道；这里还有一个更绝的。

1 这无疑是一个天才，一个奇特的天才。他一方面能够以非凡的洞察力给出五次方程式的
通解，一方面在数学的考场上似乎永远也考不及格。

这是厄而米特（Charles Hermite），十九世纪最伟大的代数几何学家。

大学入学考试重考了五次，每次失败的原因都是一样的——－数学考不好。他的大学读到
几乎毕不了业，原因也还是一样——－数学这一科拖了后腿。大学毕业后考不上任何研究
所，因为考不好的科目还是——数学。

数学是他一生的至爱，但是数学考试是他一生的恶梦。不过这无法改变他的伟大：

课本上“厄尔米特矩阵”是他先提出来的，这对于海森堡（Heisenberg）1925 年创建的量
子力学关系重大；而厄而米特多项式和厄而米特函数在求解薛定谔（Schrodinger）波动方
程也特别有用。这都是他在研究数论问题时搞出来的，谁也不会想到许多年后会在物理上
得到如此意想不到的应用。这大概只能又归之于数学在自然科学上那种“不可思议的有效
性”（unreasonnable effectiveness）了。

人类一千多年来解不出“五次方程式的通解”，是他先解出来的。大家知道，阿贝尔（Ab
el）在此前很多年就已经证明，一般的五次方程不能用只包含四则运算和根式运算的函数
求解。厄而米特却惊人地证明五次方程可以用椭圆函数来求解。

自然对数的“超越数性质”，全世界，他是第一个证明出来的人。

他的一生证明“一个不会考试的人，仍然能有胜出的人生”，并且更奇妙的是不会考试成
为他一生的祝福。怎么会这样呢？嗯……也许能在本文中找到答案喔！

2 厄尔米特1822年12月24日出生在洛林的小村庄Dieuge，他的父祖辈都参与了法国大革命
，祖父被大革命后的极端政治团体巴黎公社(Commune)逮捕，后来死于狱中；有些亲人死在
断头台上；他的父亲是杰出的冶矿工程师，因为被公社通缉，逃到法国边界的洛林小村庄
，在一家铁矿场中隐姓埋名做矿工。铁矿场的主人叫雷利曼(Lallemand)，一个标准强悍的
洛林人，有一个比他更强悍的女儿玛德琳(Madeleine)。在那个保守的时代，玛德琳就以“
敢在户外穿长裤不穿裙子”而著名，凶悍地管理矿工。但是一遇到这位巴黎来的工程师，
她就软化了，明知对方是死刑通缉犯还是嫁给他，而且为他生了七个孩子。埃尔米特在七
个孩子中排名第五，生下来右脚就残障，需扶拐杖行走。他身上一半流著父亲优秀聪明、
理想奋斗的血液，一半流著母亲敢作敢为、敢爱敢恨的洛林强悍血统，谱成不凡生涯的第
一个升记号。

厄尔米特从小就是个问题学生，上课时老爱找老师辩论，尤其是一些基本的问题。他尤其
痛恨考试；后来写道：“学问像大海，考试像鱼钩，老师老要把鱼挂在鱼钩上，教鱼怎么
能在大海中学会自由、平衡的游泳？”厄尔米特花许多时间去看数学大师，如牛顿、高斯
的原著，他认为在那里才能找到“数学的美，是回到基本点的辩论，那里才能饮到数学兴
奋的源头。”他在年老时，回顾少年时的轻狂，写道：”传统的数学教育，要学生按部就
班地，一步一步地学习，训练学生把数学应用到工程或商业上，因此，不重启发学生的开
创性。但是数学有它本身抽象逻辑的美，例如在解决多次方程式里，根的存在本身就是一
种美感。数学存在的价值，不只是为了生活上的应用，也不应沦为供工程、商业 应用的工
具。数学的突破仍需要不断地去突破现有格局。
 
厄尔米特的表现让父母忧心，父母但求他能把书念好，再多的钱也愿意付出，就把他送到
巴黎的路易大帝中学(Louis-le-Grand)。因其超卓的数学天份，他无法把自己塞入数学教
育的窠臼，但是为了顺父母的意，又必须每天面对那些细微繁琐的计算，以致痛苦得不得
了。这位孝顺的天才，似乎注定终生的自我折磨。巴黎综合工科技术学院入学考试每年举
行两次，他从十八岁开始参加，考到第五次才以吊车尾的成绩通过。其间他几乎要放弃时
，遇到一位数学老师李察(Richard)。李察老师对埃尔米特说：”我相信你是自拉格朗日(
Lagrange)以来的第二位数学天才。”但是埃尔米特光有天份不够，李察老师说：“你需要
有上帝的恩典，与完成学业的坚持，才不会被你认为垃圾的传统教育牺牲掉。”因此他一
次又一次地落榜，却仍继续坚持应试。厄尔米特进技术学院念了一年以后，法国教育当局
忽然下一道命令：“肢障者不得进入工科学系”，埃尔米特只好转到文学系。文学系里的
数学已经容易很多了，结果他的数学还是不及格。
 
有趣的是，他同时在法国的数学研究期刊《纯数学与应用数学杂志》发表《五次方方程式
解的思索》，震惊了数学界。在人类历史上，第三世纪的希腊数学家就发现一次方程与二
次方程的解法，之后，多少一流数学家埋首苦思四次方程以上到n次方的解法，始终不得其
解。没想到三百年后，一个文学系的学生，一个数学常考不及格的学生，竟然提出正确的
解法。厄尔米特知道自己已经“对数学的开创性研究中毒很深，热爱得无法自拔”，幸得
好朋友勃特伦(Bertrand)赶忙帮他补习学
校要考的数学。对这一个具有开创性的天才，僵化的数学教育带来无边的苦难；惟有友谊
的了解与鼓励能够支持他走下去，并使他在二十四岁时，能以及格边缘的成绩自大学毕业
。由于不会应付考试，无法继续升学，他只好找所学校做个批改学生作业的助教。这份助
教工作，做了几乎二十五年，尽管他这二十五年中发表了代数论、分数理论、函数论、方
程论……已经名满天下，数学程度远超过当时所有大学的教授，但是不会考试，没有高等
学位的埃尔米特，只能继续批改学生作业。
 
厄尔米特在四十九岁时，巴黎大学才请他去担任教授。此后的二十五年，几乎整个法国的
大数学家都出自他的门下，其中有我们熟知的毕卡（Picard），波雷尔（Borel），还有上
世纪的最后一个全才，我们的动力系统之父－－－庞卡莱（Poincare）。

对于他的教学风格，从庞卡莱说得一段话里可领略一二：“和厄而米特先生谈话，他从未
求助于具体形象，但你能立刻体会到，对于他来说，最抽象的观念就像活的一样。”他不
喜欢几何。但非常喜欢数论和分析，尤其擅长椭圆函数，在那里，数论和分析有许多奇妙
的结合。五次方程的通解问题，厄尔米特矩阵，都是从这里生长出来的。

我们无从得知他在课堂上的授课方式，但是有一件事情是可以确定的──没有考试。

3 不会考试给厄尔米特他带来许多麻烦：工作不顺利、多次重考、他人的轻视、自卑等；
但是不会考试也给他带来许多祝福：认识妻子、好友、信仰，与整个生命的成熟。

后来美国加州理工学院数学系的教授贝尔(Bell)，在他对历史上数学伟人的回顾上，用一
段话描述埃尔米特：“在历史上的数学家愈是天才，愈是好讥诮，讲话愈多嘲讽。只有一
个人例外，就是厄尔米特，他有真正完美的人格。”
 
厄尔米特死于1901年1月4日。他对数学有自己独特的哲学，有点像毕达哥拉斯学派的味道
。晚年他写道：“三角几何是永恒、是不朽的。自然界里没有任何一个东西是绝对的三角
形，但是在人的脑中却存在著完美、绝对的三角形，去衡量外面的形形状状。没有人知道
为什么三角的总和就是180°，没有人知道为什么三角的最长斜边对应最大角。这些三角几
何的基本特性，不是人去发明出来或想像出来的，而是人在懵懂无知的时候，这些三角特
性就存在，并且无论时空如何改变，这些特性也不会改变。我只不过是一个无意中发现这
些特性的人。三角几何的存在，证明有一永久不改变的世界存在。”

附注：特挑出厄尔米特这段名言，大家肯定喜欢：

“学问像大海，考试像鱼钩，老师老要把鱼挂在鱼钩上，教鱼儿怎么能在大海中学会自由
、平衡的游泳？”