手絹中的宇宙

手絹中的宇宙
The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll 讀後感
單維彰
中央大學數學系
1999 年 1 月 31 日原作 ‧ 2001 年 4 月 7 日修訂


這裡要談的書是：

Martin Gardner, The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Games, Puzzles and Word Plays Copernicus Springer-Verlag, 1996.
我在 1996 年 10 月 20 日郵購獲得這本書。但是一直擺到 1999 年初才開始讀。讀完的日子，恰好是 Carroll 一百六十七歲冥誕的那一天。也很靠近他逝世一百周年的日子。真是巧合。
Gardner 不算是數學家，但是在數學圈子裡，名氣絕不亞於任何費爾茲獎得主。有一位 SIAM News 的專欄作家 (他本身是一位數學家，曾在布朗大學應用數學系任教) 呼籲數學機構應該考慮頒給 Gardner 一個榮譽數學博士學位。以答謝他的一生對數學所作的貢獻。有關 Gardner 的介紹不是我在這篇讀書報告中要詳細記載的。但是我免不了想要附帶幾句。

Gardner 在大戰退伍後，渡過一段蟄伏的日子。大約是 1950 年代，他被推薦為 Scientific American 撰寫幾篇關於數學遊戲的文章。可能是讀者反應良好，也可能是編輯委員識貨，他的幾篇文章發展成一個數學娛樂的專欄，而他成為專欄作家，為每一個月的 Scientific American 撰寫一篇專文。如此而一寫寫了三十多年。在他退休後將過去的專欄文章增補修改，陸續編成專書再度出版，至 1998 年出完。即使是嚴肅的數學家，也大都同意，他的數學娛樂文章一點兒也不膚淺。事實上，他被譽為以娛樂與遊戲的方法介紹嚴謹與抽象的數學的第一把好手。有時候，即使內行的專業數學家，也被他那輕鬆、家常、有趣而又絕對正確的敘述方式所折服。他的文章不再只是娛樂而已，他其實可以將非常抽象而先進的數學，介紹給受過普通教育的社會愛智人士。換句話說，他的專欄文章可以被嚴肅地帶進數學課堂。但是 Gardner 並沒有任何數學學位。

我最感到好奇的，並不是 Gardner 如何瞭解那些數學？如何寫出那些文章？我最想知道的是，誰把他介紹給 Scienific American？誰推薦他擔任這份工作？在剛開始的時候，誰在他的背後支持他做下去？當時 Gardner 還那麼年輕，沒有正確的學歷，也沒有明顯的經驗。到底是誰，發現了他並且敢於將這份責任交付給他？我最感慨的，不是 Gardner 的天才和幸運，而是他的社會。對比於我們自己的社會，我們必須想像，五十年前的美國，就已經是多麼的開放、公平和健全。我曾經認為美國之所以強盛，是因為他的自由民主。後來我認為這些只是表面的制度。更深一層的原因是，這種制度使得一個社會比較容易成為健全的社會。我所謂的健全，簡單地說就是「每一個座位上坐了一個最適當的人」。因此，良性循環就可以開始。那個適當的人會把他份內的事情作好。因為有適當的人作好社會上每一件不屬於自己的事，所以每個人可以全心作好自己適當的工作。因為有適當才能的人坐在適當的座位上，所以當他要作判斷、作決定的時候，也都會適當。因為他的適當才能，以及對他那位子的明確認識，所以當他選擇接班人的時候，當然也就比較適當。這就是我所謂的健全。我總是想像，當 Gardner 年輕的時候，必定有一個適當位子的人有適當的眼光，認出他的才能，所以給了他一個適當的座位。也許就如美國國歌所唱的，天佑美國。她的一開始，就有華盛頓，同時又有傑佛遜、富蘭克林和亞當斯。假設她的良性循環管道從那時候就開始成立，那麼她的社會已經健全了三百年，能夠不強盛嗎？對於我們的社會，相信必定比一百年前，甚至比二十年前要健全得多了。但是其健全的管道顯然還不夠暢通，尤其在官僚系統裡面更是如此。或許，苦難的中國青年，即將可以在二十一世紀，逐漸汰換社會中的舊血，使得我們的社會，也變得健全。

回到原來的主題。Lewis Carroll 是 Charles Lutwidge Dodgson 的筆名。他生於 1832 年 1 月 27 日，卒於 1898 年 1 月 14 日。於 1865 年，出版愛麗絲漫遊奇境 (Alice's Adventures in Wonderland)。七年後 (1872) 出版類似續集的鏡中記 (Through the Looking Glass)。他擁有數學學位，二十二歲時畢業於牛津的 Christ Church 學院，並留在那個學院擔任數學老師以至終身。雖然他的一生並沒有在數學專業上做出重大的貢獻，換句話說，他沒有出版過多少傳世的論文。但是透過其他的著作，卻也對數學的整體、和社會大眾對於數學的態度，做出卓越的貢獻。所以，想必當時也有個識貨的人坐在適當的上位，給了 Carroll 這個適當的座位。這個適當的人很可能是 Henry Liddell。兩本愛麗絲夢遊書中的 Alice，暗指 Alice Liddell。Carroll 很喜歡小孩，結交了許多小朋友，並留下數百封寫給許多不同小朋友的信。 Alice 三姊妹都是他的好朋友，她們是 Henry Liddell 的女兒，而這位 Liddell 先生是當時 Christ Church 學院的教務長。

愛麗絲漫遊奇境的最佳翻譯，當然是趙元任先生的版本。 2000 年底，經典傳訊用趙先生的翻譯，配上 1999 年在歐洲得獎的新插圖，重新將這本書搬上臺灣的童書市場，反應熱烈。趙先生回國後還繼續翻譯了鏡中記，可惜原稿毀於戰火。他在晚年可能有重寫出來，但是並沒有正式出版，而是夾在他編撰的三冊中國話讀物之第二冊中出版，我個人尚未看過這本書。

在數學方面，Carroll 對於邏輯與機率有一些原創的貢獻，但是比起他的文藝著作來說，那些是微不足道的。他的傳世之作就是前述的兩本愛麗絲遊記。除此之外，他還寫了類似愛麗絲遊記那樣的幾本書： The Hunting of the Snark (1876)、兩輯的 Sylvie and Bruno (1889, 1893)；它們都包含了許多數學、邏輯、益智遊戲和各式各樣奇特的英文詩。此外，他還留下數以千計的信札和筆記，許多描述撲克牌或英文文字遊戲玩法的小手冊。他還是個著名而且有創意的業餘攝影師。總之，他流傳後世的名，並非數學家，而是個作家和「玩家」。(在台灣，也有一位先生自稱為作家和玩家，但是我並不打算比較這兩個人的才氣和能力。這樣做不太公平。)

一直到今天，還保留了許多 Carroll 迷。討論他這個人的專書不下十本。在美國尚且有一個 Carroll 協會，大概比青少年參加的歌友會稍微成熟一點兒吧。 Gardner 在中年以後再讀愛麗絲遊記的時候才開始對 Carroll 這個人物產生興趣，後來越是深入，就越發現他兩人在本質上之相似。所以逐漸地 Gardner 變成了研究 Carroll 的權威人物之一。這本書，除了收集 Carroll 在故事書、信件、日記、小手冊中所發表的數學遊戲類創作之外，也蒐集了一些鮮為人知的其他創作，包括奇特的詩、英文文字遊戲、牌戲。也首度翻製了三份以無名氏印行的小手冊，描述幾種 Carroll 自己發明的遊戲規則。所以這本書兼具蒐集、整理和考古的功能。

就從這本書的標題說起。什麼是「手絹中的宇宙」呢？那是在 Sylvie and Bruno 第二冊中， Mein Herr 向 Lady Muriel 表演如何用兩張方手絹縫成一個沒有裡面與外面之分的口袋。這是 Mobius 帶的推廣，亦即著名的 Klein 瓶。因為它的外面也就是裡面，所以它的裡面就包含了所有的外面。因此可以誇張地說，這個口袋包含了全宇宙。書裡有一張版畫插圖。但是並沒有仔細摘錄原文的內容。有意者可以在去查原文，目前有由 Dover 公司的翻製版 (1988)。其實，只要讀者知道如何製造 Mobius 帶，就不難自己想像如何製造這種口袋。


Carroll 有許多特異功能的詩。有些對應於我們的「崁字詩」，有些就不容易在中國文學中找到對應 (可能是因為我自己的無知吧)。例如以下這首著名的崁字詩，寫在鏡中記的最後，暗藏了愛麗絲夢遊仙境之女主角的真名。只要將每行的第一個字母直著讀下來，就會發現答案。「林以亮論翻譯」收錄了趙元任先生的譯詩，並譽之為翻譯絕唱，一併錄於此。
A boat, beneath a sunny sky
Lingering onward dreamily
In an evening of July--- 斜陽照著小划船ㄦ
慢慢ㄦ漂著慢慢ㄦ玩ㄦ
在一個七月晚半天ㄦ
Children three that nestle near,
Eager eye and willing ear,
Pleased a simple tale to hear--- 小孩ㄦ三個靠著枕
眼睛願意耳朵肯
想聽故事想得很
Long has paled that sunny sky;
Echoes fade and memories die;
Autumn frosts have slain July. 那年晚霞早已散
聲兒模糊影兒亂
秋風到了景況換
Still she haunts me, phantomwise,
Alice moving under skies
Never seen by waking eyes. 但在另外一個天
阿麗絲這小孩ㄦ仙
老像還在我心邊
Children yet, the tale to hear,
Eager eye and willing ear,
Lovingly shall nestle near. 還有小孩ㄦ也會想
眼睛願意耳朵癢
也該擠著聽人講
In a Wonderland they lie,
Dreaming as the days go by,
Dreaming as the summers die: 本來都是夢裡遊
夢裡開心夢裡愁
夢裡歲月夢裡流
Ever drifting down the stream---
Lingering in the golden gleam---
Life, what is it but a dream? 順著流水跟著過
戀著斜陽看著落
人生如夢是不錯
用北方的捲舌音來朗誦趙元任的翻譯，有特別動人的味道。但是趙先生的譯詩，並沒有將愛麗絲的名字崁入其中。

她的全名是 Alice Pleasance Liddell，如果音譯成中文，或許是「愛麗絲‧普理森斯‧李德爾」或其他諧音的字。中國人亦不難用這十個字，做一首崁字詩。詩裡提到三個小孩，應該就是指 Alice Liddell 等三姊妹。另有一首暗指三姊妹的詩，那三個 Liddell 在詩裡隱藏了很久才被後人發現：

All in the golden afternoon
  Full leisurely we glide;
For both our oars, with little skill,
  By little arms are plied,
While little hands make vain pretence
  Our wanderings to guide.
上面這首詩出現三個 little，正好和 Liddell 押韻。這是 Carroll 贈給 Liddell 三姊妹的禮物。談到 Carroll 的特異詩，最使我感興趣的是一首「對稱詩」：
I often wondered when I cursed, I often wondered when I cursed
Often feared where I would be --- often feared where I would be
Wondered where she'd yield her love, wondered where she'd yield her love
When I yield, so will she. when I yield so will she
I would her will be pitied! I would her will be pitied
Cursed be love! She pitied me ... cursed be love she pitied me
這首詩有六列，每列六個字。如果忽略標點符號，將詩中的三十六個字整齊排列出來，看出來了嗎？這是個六乘六的對稱矩陣。那首詩，不管橫著讀或直著讀，都是一樣的！
中央大學英文系八八級的陳素麗，編造了一首對稱的坎字詩，她把「愛麗絲夢遊仙境」崁在詩的對角線上。數學系八八級的劉德欣，也創作了一首對稱詩，她的作品看起來更像是個有商業價值的裝飾品。因為這兩份作品都很妙，所以順便收錄於此。
愛山樂水怡閒情
山麗川秀爽心懷
樂川斯逝東向去
水秀逝夢悠往昔
怡爽東悠遊歷憶
閒心向往歷仙夢
情懷去昔憶夢境
多說寬容話
說些容人語
寬容是非少
容人非怕譏
話語少譏諷


在數學遊戲方面，Carroll 有一些適合初學代數者的益智問題。例如他問，在下式中代入任何 x，怎麼答案總還是 x 呢？


(x+7+10)*(1000-8)
------------------------ - 17
  992

在一封給某為小男孩的信中，他問一個問題。令 x=1 且 y=1，則 2*(x2-y2)=0 而且 5*(x-y)=0。所以 2*(x2-y2)=5*(x-y) 現在把等式兩邊的 (x-y) 除掉，得到 2*(x+y)=5。但是 x+y=2，故得 2*2=5。這是怎麼回事啊？
除了代數遊戲，他還有更多邏輯和機率的遊戲。邏輯的交錯詭論，在他的書中經常出現，令人目不暇接。 Carroll 本人就是共同發明並且推廣符號邏輯運算的人之一。他的許多邏輯詭計，都可以在利用符號運算之後被明朗化。有時候是做 Boolean 運算，有時候是做集合圖。例如創造人工智慧這門學科的 McCarthy 教授曾藉用 Carroll 式的邏輯謎題，作為 LISP 程式語言的應用範例 (這是 McCarthy 的創作，不是 Carroll 的)。假設 Cheshire Cat 對愛麗絲說

Either I am mad or the Hatter is mad
又說
Either you or the Hater is mad
再說
Only one of the three of us is mad
如果 Cheshire Cat 所言屬實，而我們用 A 代表愛麗絲是瘋癲的 (Alice is mad)、用 C 代表 cat 是瘋癲的、用 C 代表 Hatter 是瘋癲的。則前兩句話的邏輯符號就是
((C or H) and (A or H))
這個敘述是真，必須
(C or H) 真而且 (A or H) 真
這兩個敘述成真，而且 A、C、H 中只有一個真，明顯可見 H 真。也就是說，只有 Hatter 發了瘋。
經常，Carroll 的邏輯遊戲未必以複雜關係的形式出現，而只是極度地違背常態而富有創意，使得讀者錯愕。例如在鏡中記中，有一段與莊子的蝴蝶夢的類似設計。當紅國王夢到愛麗絲，她也正好睡著夢到紅國王。而紅國王夢中的愛麗絲也正好夢這紅國王。如此這般有一個無限的遞迴關係。最後愛麗絲也不敢肯定，到底誰是真實的、誰是在作夢？再例如一段經常在討論近代資訊社會時被引用的話：「妳必須越跑越快，才能留在原地。」這種情況，不是非常適切地反應了近代的快速變遷嗎？

Carroll 也在機率論方面有些原創的發現。我們舉兩個例子。這兩個問題出現在 1893 年出版的「枕頭問題集」(Pillow Problems) 裡面。起初他用了一個副標題 Thought Out During Sleepless Nights。再版時，Carroll 採用了比較正面的說法；他將「睡不著的夜晚」 (sleepless nights) 改成了「值得清醒的時刻」(wakeful hours)。似乎與「屢戰屢敗」之改成「屢敗屢戰」有異曲同工之妙。

這本小冊子裡面有七十二個問題，許多是關於機率的問題。例如考慮一個袋子，內裝一個可能是黑色或白色的球。如果投入一個白球，然後隨機抽出一個球，而那是個球是白色的。請問此時袋子裡的球是白球的機率是多少？當然，答案不再是 1/2。試想另一種情況，如果投入白球後抽出的是黑球，那麼袋子裡是白球的機率就會是 1 了。也就是說，當我們對一個未知的集合做了一些實驗，我們就獲得了一些資訊，因此能夠做更精確的判斷。

第二個例子，其實是個玩笑。但是 Carroll 正經八百地寫在書裡。這是他那七十二題的最後一題！或許他的玩笑是要告訴我們，熬夜太多終究有害健康，連腦袋都糊塗了。他說，如果一個袋子裡有兩個球，每個都是黑或白色，則他可以證明，那兩個球必定是一黑一白。以下是他的「證明」。袋子裡的兩個球，二黑的機率是 1/4、二白的機率也是 1/4、一黑一白的機率是 1/2 (兩個球外型相同，沒有順序上的差別)。假設現在投入一個黑球，則三黑的機率是 1/4、一黑二白的機率也是 1/4、二黑一白的機率是 1/2。現在，從這裝有三個球的袋子中抽出一個黑球的機率是

(1/4 * 1) + (1/4 * 1/3) + (1/2 * 2/3) = 1/4 + 1/12 + 1/3 = 8/12 = 2/3
反過來，如果從一個裝有三個黑或白球的袋子中抽取一個黑球的機率是 2/3，那麼袋子中必定有兩個黑球和一個白球。我們知道剛才投入的是一個黑球，所以，還沒投入以前的那兩個球，必定是一黑一白。「故得證」。
Carroll 有許多發明，其中一些直到今天還很普及。例如他在 1887 年發明一種算法，可以得到任何一個西元日期的星期數。這套算法還會出現在許多童書或數學娛樂書籍內。普林斯頓的 Conway 教授在 1973 於 Eureka 發表了一個更簡化的算法。許多人大概都聽過一個益智問題：某人帶著一隻狼、一隻羊和一簍高麗菜要渡河，他一次只能帶一樣東西，因此當他在撐船過河的時候，必有兩樣東西要留在岸上。但是不能將狼和羊留下，因為狼會吃羊；不能將羊和高麗菜留下，因為羊會吃高麗菜。請問要如何渡河？這也是 Carroll 發明的問題。此外，諸如利用 1/7 的循環節數字 (142857) 玩的把戲，和利用 12345679*9=111111111 這個事實玩的把戲，都經常出現在今天的數學娛樂著作中，這些也都是 Carroll 的發明。

還有一個問題，我覺得已經超出「益智」的範圍了。它是個很認真的問題。假如在屋頂上固定一個滑輪，在滑輪上跨一條繩子，使它兩端自然下垂。現在帶來一隻猴子，和一個與猴子等重的鉛塊。如果在滑輪一側的繩子尾端繫上鉛塊，並且拉高懸在空中；然後讓猴子抓在另一側的繩子上，與鉛塊等高。請問，當猴子在那條繩子上下攀爬甚至暫時鬆手下落的同時，另一側的鉛塊會如何改變其高度？ Carroll 在 1893 提出這個問題，受到他附近的物理和數學家認真的討論。

Carroll 顯然是個有強烈「文字慾」的人。在他發明的眾多英文文字遊戲當中，我最著迷的是 Doublets，或稱字鏈 (Word Links) 或字梯 (Word Ladders)。他在 1878 年首次在日記中提到這個遊戲的設計。玩法有兩種以上。或許可以由一個人出個題，亦即一個英文字，其他的人依序想一個字，每個字的字母長度需與前一個字等長，而且只准一個字母不同。有點像我常和孩子們玩的中文接詞遊戲。但是接詞遊戲通常的規則是兩詞的頭尾相連。另一種玩法是由某人出題，規定了頭字和尾字，看看誰最快找到最短路徑。要注意的是，這種題目可能根本無解。舉例來說，從冷 (cold) 到暖 (warm) 的一組字梯，以及從猩猩 (ape) 進化到人類 (man) 的最短路徑之一，分別是
COLD
CORD
CARD
WARD
WARM APE
APT
OPT
OAT
MAT
MAN



SWORD
SWORE
SPORE
SPARE
SPACE
SPATE
SKATE
SLATE
PLATE
PLACE
PEACE

史丹福大學的 Knuth 教授也是一位著名的有文字慾的人。他還認真地寫了電腦程式來幫他玩這個遊戲。他用圖論 (graph) 的模型，認定同長度但只差一個字母的兩個英文字是「相鄰」的。在電腦檢查了所有英文字之後，他發現有些字是孤立的，亦即沒有相鄰的字。例如 aloof (冷漠、疏遠、不參與某事物，例如 He stands aloof from the crowd) 就是一個孤立的字。真的是字如其形。所以，Knuth 一語雙關地定義所有無相鄰字的字為 aloof words。如果在玩這個遊戲的時候出現，有人出的題目恰好是 aloof 字，就玩不下去了。在五個字母的英文字中，有 671 個 aloof 字。包括 earth、ocean、sugar、laugh、first、third 和 ninth 等。 Knuth 在他自己設計的 1992 年耶誕節卡片上，展現了從戰爭 (sword) 到和平 (peace) 的十一段字梯。我不知道 Knuth 的解是什麼，但是中大英文系八八級的陳笑仲找到右邊那組解。


除了文字遊戲，Carroll 還發明了若干撲克牌遊戲和摺紙遊戲。但是我個人並不太感興趣。所以，就停在這裡吧。