冯·诺伊曼传
Dynamics @ 2005-03-15 10:14
冯·诺伊曼传
斯·乌拉姆
1957年2月8日，约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）离开了人世，整个数学界从此失去了一位最富于创造、最有远见卓识和多才多艺的人物。这位人类的智者、出类拔萃的数学解释者的去世使科学蒙受损失，数学方法经他之手获得了最新的应用（许多是由他发掘才得以实行的），这些应用已深入物理学、天文学、生物学和新技术科学的各种问题。对他的贡献已经有了许多很著名的评述和称颂。这里，我仅站在一个和他有过25年私人至交和友谊的人的立场，简要地说明他的生活和工作。
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约翰·冯·诺伊曼（在美国大家都知道他的爱称是约翰尼）于1903年12月28日出生在匈牙利的布达佩斯，当时那里是奥匈帝国的一部分。他是家里三个男孩中最大的。他的父亲麦克思·冯·诺伊曼是银行家；所以家境是富裕的。小时候，请了家庭教师来教育他。1914年第一次世界大战爆发时，他正好10 岁，进入大学预科学校学习。第一次世界大战前后的二十年间，布达佩斯成了培养科学人材的肥沃土壤。出现了众多才气横溢的人物（他们的名字充斥着当代的数学和物理年鉴）。到底是什么条件促成了这种局面，还有待于科学史家们去发现和解释。在这灿如明星的一群科学家中间，约翰尼大概是最辉煌的一颗星。当问及他对这种按统计学观点未必会有的现象有何看法时，他认为这是某些他无法精确说明的文化因素的巧合所致：处于中欧这个地区的整个社会受到的外部压力，极端的但是下意识的个人不安全感以及不创出奇迹就将面临灭亡的这种必然性。一次世界大战破坏了现存的经济和社会型态。布达佩斯，过去奥匈帝国的第二京城，现在是一个小国的首府。而许多科学家正需要迁居到一处较少限制和较安静的环境去生活。
约翰尼的同学菲尔纳（Fellner）有个说法（这是菲尔纳在一封回忆小约翰早期的学习情况的信中提供的），小约翰的非凡才能引起了一位早期的老师（拉斯罗·瑞兹，Laslo Ratz）的注意。他对约翰尼的父亲表达了这样的意见：按传统的办法教授约翰尼中学数学课程将是毫无意义的，他们赞成他应接受单独的数学训练。于是，在冠夏克（Kurschak）教授的指导下，由当时布达佩斯大学助教菲克特（Fekete）进行家庭辅导，他学习了各种数学问题。1921年他通过“成熟” （matura）考试时，己被认为是一个专门的数学家了。他的第一篇论文是和菲克特合作写的一篇注记，那时他不到18岁。其后四年间，他在布达佩斯大学注册为数学方面的学生，但大部分时间却在瑞士的苏黎世和柏林度过，在苏黎世的“同业高等技术学院”（Eidgenossiche Technische Hochschule）他还获得了化学方面的大学毕业学位。在每学期末尾他就回到布达佩斯大学通过他的课程考试（不参加听课，这样做多少有点不合规则）。大约在他获得化学学位的同时，他在布达佩斯得到了数学博士学位。逗留苏黎世期间，他用空余时间研究数学、写文章并和数学家们通信。当时魏依尔（weyl）和波尔雅（Polya）两位在苏黎世，他和他们有过交往。一次，魏依尔短期离开苏黎世，约翰尼在那段时间接替过他教的课程。
统观全局，应该注意到欧洲不乏数学创造方面的早熟者。跟美国比较，专业教育似乎至少要差二到三年，这是采用大学预备学校或学院来加强教育体系之故。约翰尼在那些年轻的才子中间也是格外突出的，甚至在学生时代就开始创造性的工作。1927年到1929年他是柏林大学的义务讲师，三年间他发表了集合论、代数和量子理论的文章，使他在世界数学家中变为知名人物。我记得1927年他到里沃夫（在波兰）出席数学家会议，那时他在数学基础和集合论方面的工作已经很有名气了。它们作为一个年轻天才的作品，展现在我们一群学生面前，引以为例。
1929年，他转任汉堡大学的义务讲师。1930年，他第一次来到美国，任普林斯顿大学客座讲师。我记得约翰尼告诉过我，德国的大学里现有和可以期待的空缺非常少，但却有四十至六十名讲师指望在最近的将来得到教授的位置。按照他典型的理性考虑方法，约翰尼算出三年内可以得到的教授任命数是三，而讲师则有四十名之多。他还感到即将来临的政治事件会使脑力工作变得很困难。
1930年他接受了在普林斯顿的客座教授职位，在学年中教课，每到夏季就回欧洲。
1931年他成了该大学的终身教授，并保持到1933年被邀请到高等研究所当教授时为止。那时，他是研究所终身教授会中最年轻的成员。
1930年他跟玛丽达·柯维斯（Marietta Kovesi）结婚，1935年他们的女儿玛丽娜（Marina）在普林斯顿出生。在高等研究所成立初期，欧洲的来访者会发现一种极好的不拘礼节但是浓厚的研究风气。研究所教授的办公室设在“优美大厦”（普林斯顿大学的一部分），在研究所和这个大学的各系有一批名望很高的人，大概集中了有史以来最多的有数学和物理头脑的人材。
1935年底，我应约翰尼之请首次访美。魏布伦（Veblen）教授和夫人为我安排了愉快的社交活动，我发现冯·诺伊曼的（也是亚力克山大的）住宅是最经常集会的地方。那些年虽然经济不景气，但研究所还是设法让相当数量的本国和来访的数学家过上很愉快的生活。
约翰尼的第一次婚姻以离婚告终。1938年暑期访问布达佩斯时，他和克拉拉·丹（Klara Dan）结婚并一起回到普林斯顿。他的家仍是科学家集会的场所。他的朋友不会忘记他的家庭总是那样殷勤好客，在他那儿人人都会感受到一种聪慧的气氛。克拉拉·冯· 诺伊曼后来成了首批为计算机编制数学问题码的人之一，她为这种技术创造了一些早期的技巧。随着欧洲战事的爆发，约翰尼在研究所外的活动开始成倍增长。关于他担任的职务和社会组织成员资格等的一览表列在本文的结尾处。仅仅数一数他的头衔就会知道他担负着巨大的工作量。他在为政府内外的各式各样的科学计划操劳。
1954年10月，由总统任命他为美国原子能委员会成员。他请假离开了普林斯顿，除了继续担任洲际弹道导弹委员会（ICBM Committee）主席外中断了所有其它职务。约翰尼多年的老朋友，原子能委员会主席海军上将斯特劳斯（Strauss）在委员会成员出现空缺时立即建议总统提名他出任此职。关子约翰尼积极但是短暂地为该委员会服务的情况，斯特劳斯写道：
“从他被任命到1955年深秋，约翰尼干得很漂亮。他有一种使人望尘莫及的能力，最困难的问题到他手里，都会被分成一件—件看起来全是十分简单的事情。而我们所有的人都奇怪为什么自己不能象他一样清楚地看透问题的答案。用这种办法，他大大地促进了原子能委员会的工作。”
约翰尼的健康状况一直很好，可是由于工作繁忙，到1954午他开始感到十分疲劳。1955年夏，X光检查发现他患了不治之症的第一个迹象。长期而无情的疾病折磨着他，慢慢地终止了他所有的活动，他是在华盛顿的渥尔特·里德医院逝世的，享年53岁。
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约翰尼的朋友们记得他那很有特色的仪表：他站在黑板前面或是在家里讨论问题，不晓得甚么缘故，他的手势、微笑和眼神总是反映一种思想，反映所论问题的实质。他中等身材，年轻时很瘦，后来渐渐发胖；他来回走动时总是迈着小步，忽慢忽快，但从来不会很急。每当问题出现逻辑上或数学上自相矛盾时，他的脸上总要闪过一丝微笑。还有一件跟他喜欢抽象思维风马牛不相及的事，他特别喜欢通俗的喜剧和幽默（几乎可以说是怀有一种渴望的心情）。他好象一身兼有多种才能，即使它们之间并不矛盾，但至少每一种才能都要求倾注全力并予记忆，所以它们能汇集于一人之身是难得的。它们是：对数学思想的集合论（形式上是代数的）基础的感知；对分析和几何的经典数学之本质的理解与认识；一种非常深刻的洞察力，能发掘现代数学方法的潜在威力，并用于已有的和新的理论物理问题的形式化。所有这些都被他出色的和富于创造性的工作所证明。他的工作确实涉及了现代科学思想的非常广泛的领域。
他和朋友们谈起科学课题能延续好几个小时。即使话题离开了数学，也从不缺乏谈论的主题。约翰尼跟人们有一种生动的关系，喜欢和别人闲谈。你常常会感到，他正在搜集人们的各种特性，印入自己的脑海，就好象淮备进行统计学方面的研究。时迁人变，他也不例外。记得他年轻时，好几次对我讲过这种信念，人大约过了 26岁，主要的数学创造能力就下降了，不过由经验所发展起来的比较平凡的机敏设法弥补了这种渐次而去的损耗，至少在一段时间内可以弥补一下。可是后来他把这条年龄界限慢慢地拖后了。偶然，他也参加到评论其他科学家的谈话中去；总的说他的意见是十分豁达的，不过往往也会用轻描淡写的称赞去贬责。一般而论，下断语是要很慎重的，而他确实不愿意讲出关于他人的任何最后的评语：“让拉达满堤斯（Rhadamanthys）和麦诺斯（Minos）… …去评价……”。（拉达满堤斯：希腊神话中宙斯和欧罗巴的儿子，死后做阴间的判官。麦诺斯：拉达满堤斯的兄弟，也是阴间的判官之一。——译者）有一次经人询问，他说过对他早年学术上影响最大的数学家是艾哈德·施密特（Erhard Sehmidt）和海曼·魏依尔。
不少人认为约翰尼是许多委员会（这是现代特有的一种活动）里出色的主席。他会强烈地坚持其学术观点，而在人事和组织事宜方面十分随和。尽管他能力极强并充分意识到了这一点，但还是缺乏某种自信，他非常称道几位数学家和物理学家具有的素质，并觉得自己在这些方面没有达到尽可能高的水平。我以为引起他这种感觉的是那样一种素质，即对新的真理有相对朴素的直观力，或初看起来并不合理但却能证明或形成新定理的直观天赋。
通常评价数学工作的标准多少有点纯美学的味道，有一回他表示了这样的见解：在现代文明中，对抽象科学成果的评价会降低；他说：“人类的兴趣说不定会改变，人们目前对科学的那些好奇心可能消失，人类的心或将被完全不同的东西所占据。”另一次交谈集中谈论了技术永不停息的加速发展和人类生活方式的变化，它描述了这样一幅奇景，人们正在走近历史长河中的某个转拆关头，只要一越过它，我们生活中所熟悉的事情将一去不复返。
朋友们都很喜欢他的幽默感。在科学家同僚中间，他会用数学家特有的方式，讲出对历史或社会现象的很有启发性的评论，而且往往是讽刺性的；以只有在空集才能成立的某些论点来展现内在的幽默。这些当然只有数学家才能欣赏。无疑，他并不认为数学是神圣不可动摇的。我记得在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）的一次讨论，谈及数学中各态历经变换和不动点的存在性用于某物理问题的数学论证，他的脸上闪过一丝笑容，说道：“现代数学终于找到了应用！可是谁也不能先验地说清楚它将如何如何，不是吗？”
除科学之外，他的主要兴趣可以说是研究历史。他对古代史的了解详细到惊人的程度。比如，他记得东印度猿人衰亡的所有铁事；每当晚饭后，他喜欢讨论讨论历史。一次去南方参加在丢克大学举行的美国数学会会议，途经南北战争时的战场，他说起战争中细微末节的故事竟都熟极了，使我们大为惊讶。渊博的知识，再加上分析拓展，形成了他对未来历史事件的观点。我可以证明，他预告过许多导致了第二次世界大战的政治事件，对战争中不少战役，他也作过预测，结果都是惊人的准确。不过很幸运他对战争将直接带来的灾难的理解是错的。在评论历史事件时他所持的观点也许太理性化了。这种倾向可能是来自过分形式化的博弈论的处理法。
约翰尼是一个优秀的语言学家，这是他获得的众多成就之一。在学校学的拉丁语和希腊语他说得特别好。他还能流利地讲德语和法语，更不用说英语了。他在美国的演讲以其文学方面的修养而著称（仅有极个别有特色的错误发音，朋友们对此都末卜先知，例如integher，正确发音为Integers[整数]）。他常去洛斯·阿拉莫斯和杉达菲（新墨西哥）访问，在这种时候他表现出对西班牙语并不十分精通，有一回到墨西哥旅行，他试图用一种自创的“新西班牙”语来使别人理解，实际上只是带有“el”词头和适当的西班牙语尾的英国话。
战前，每当夏天他都到欧洲度假和讲学，1935年在剑桥大学，1936年在巴黎的亨利·庞加莱学院，他经常提到在那儿的亲身感受：由于紧张的政治空气，搞科学研究几乎是不可能的。战后，他只在不得已时才出国旅行。
自从到了美国之后，他对这里为人所提供的各种机会表示赞赏，对这个国家科学工作的未来也寄于极高的期望。
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按年代循迹冯·诺伊曼的兴趣和成就，那是对近三十年来整个科学发展的大部分内容的一次回顾。他早期的工作，不仅牵涉数理逻辑和集合论的公理化，同时也涉及集合论本身的课题，在测度论和实变函数理论中获得了有趣的结果。同期，他开始量子理论方面经典性的研究工作，即量子论及新统计力学中测量理论的数学基础。他对希尔伯特空间中算子的深入研究也始于这个时代，他所追求的远远超出了物理理论的直接需要，并开始详尽地研究算子环这一独立的数学问题。在这个时期还开始了对连续几何的研究。
冯·诺伊曼对别的数学家获得的结果以及对这些结果蕴含着的各种可能性的理解力是惊人的。波莱尔（Borel）关于最大最小性质的文章，引导他在初期的工作中提出了一些概念，它们写在论文“关于伙伴游戏”（论文[17]）中，后来又导致了他最突出的创造之一— —博弈论。库泼曼（Koopman）关于用函数空间的算子来处理经典力学问题的可能性的思想，激励他做出了各态历经定理的严格数学证明。哈尔（Haar）的群的测度构造，为他漂亮地部分解决希尔伯特第五问题提供了启示，他证明了在紧致群中引入解析参量的可能性。
在30年代中期，约翰尼醉心于流体动力学的湍流问题。这时他已注意到非线性偏微分方程中的奥秘。由二次世界大战开始，他的工作涉及流体动力学方程和冲击波理论。分折由这些非线性方程描述的现象太困难了，用现有的方法，即使是定性的来看看也无法做到。他认为数值计算是最有前途的方法，可以对它们的性状有所了解。这就迫使他去研究用电子机器进行计算的新的可能性，而且要从头做起。他开始了计算理论的研讨，并规划和从事了自动机理论的工作，但后者没有完成。在这项研究的初期，神经系统的工作情形和有机体的框架化性质引起了他极大的兴趣和注意。
涉猎数学科学的这么多领域，并非是不安分的结果。它既不是为了猎奇，也不是想把一种一般性的方法用于形形色色的专门情形中去。数学，和理论物理不同，它不能被限制在少数中心问题上。冯·诺伊曼认为，假如在一个纯形式的基础上去寻找统一性，那是注定要失败的。数学中这样多珍奇的门类，有某些数学以外的推动作基础，并且强烈地受到来自物理现象世界的影响。这些也许会在今后很长的时期里抵制形式化。
数学家们在开始做创造性工作时，常常会受到两种截然不同的推动力：第一种，去为现存的数学大厦添砖加瓦，只要能做出未被解决过的问题，很快就能得到人们的承认；第二种，希望指出新的路径，创造出新的理论。当然，后者是一种更加冒险的事业，因为最后评判其价值或成就只能留待后人。约翰尼早期的工作选择了前者。到他的晚年，他才十分肯定自己自由地但是不辞劳苦地为创造一种可能的新数学学科而奋斗着。这就是自动机和有机体的组合理论。疾病和他过早的夭折使他的这个事业仅停留在开始阶段。
他在探索应用时的坚韧不拔和对所有精密科学的数学直觉力，使人想起了欧拉、庞加莱，也许还有现代的海曼·魏依尔。人们也一定记得当时问题的多样性、复杂性，和上面提到的前二位所遇到的情形是不能同日而语的。约翰尼在他最后一些文章中的一篇里，对这样的事实感慨不已：在今天，谁想要掌握纯数学领域中1/3 以上的知识，看来都是不可能的了。
早期的工作，集论，代数
第一篇论文（他和菲克特合作写的）处理某类极小多项式的零点。它是关于切比雪夫多项式求根法的菲叶定理的推广。文章注明的日期是1922年，冯·诺伊曼还不满18岁。
另一件早期工作包含在一篇讨论一致稠密数列的文章（用匈牙利文写的，有德文提要）中，里面有一条定理论述了将稠密点列重新排序使成为一致稠密的可能性；文章还没有点明所表述的问题将有的深度，在技巧上也不困难，但是题目的选取和证明手法的简洁已显露了他未来研究中代数技巧和集合论直观的结合。
集合论的方向在大量年轻数学家的心目中被认为是这时期非常突出的标记。乔治·康托尔（George Cantor）的伟大思想，经过伟大的法国人贝尔（Baire）、波莱尔、勒贝格和其他一些人的工作，终于在实变数理论、拓扑学以至后来在分析学中获得了丰硕果实，但是在本世纪初，它还没有被年轻数学家普遍认识，而到第一次世界大战结束后，这些思想才为新的一代自然地接受了。
论文[2]*发表在“Aota Szeged”上，它是讨论超限序数的，文章已经显示了冯·诺伊曼用代数方法处理集合论所特有的形式和风格。它的第一句话就直率地声称：“本文的目的是将康托尔的序数概念具体化、精确化。”正如该序言所说，康托尔本人的论述至今仍多少有点含糊，现在可以用由策墨罗（Zermelo）公理系统给出的一些定义来代替它。
此外，用超限归纳法来定义的严格基础也有了一个梗概。导言强调了精确的形式化手段，冯·诺伊曼有点自豪地讲，绝没有使用如“等等”这样的符号和类似的措辞。序数的这种叙述方式（后来也曾被古拉托斯基（Kuratowski）考虑过）直到今天仍是引出这个概念最好的办法，对抽象集合论的“构造”事关重大。按冯·诺伊曼的定义，每一个序数是所有较小的序数之集合。这个定义导出了更优美的理论而避免了序型的概念。序型的概念是说不清的，因为在公理化集合论中，和某个给定的有序集相似的所有有序集之集合是不存在的。
关于普吕佛（Prufer）的理想代数数理论的文章[5]开始显出他未来的广泛兴趣。文章讨论集合论的问题和关于相对素理想分支的计数问题。普吕佛曾引进理想数作为“无穷同余式组的理想解”。冯·诺伊曼一开始就使用与寇夏克和鲍鄂（Bauer）关于汉塞尔（Hensel）的p-adic数的工作相类似的方法。这里，冯·诺伊曼又一次提出一些方法，它在其后几十年内非常流行，当然是指在数学研究中的代数结构方面：起初是在考虑有限集时，以后则在无限可数和连续统范围内考虑。另一篇短的注记[39]也表明他对代数的兴趣，那是讨论闵可夫斯基线性形式理论的。
公理化的欲望——在某种意义上说，它比二十世纪初逻辑学家最初考虑的更加形式化和精确——在他许多早期的工作中已经表露。大约从1925年到1929年，冯·诺伊曼的大多数文章都试图传播这种公理化的精神，甚至要贯穿于物理理论之中。他对已有的形式化，包括集合论中的形式化都不感到满足，在研究集合论公理化的文章[3]*中，头一句话就坦率地表达了这种思想，“本文的目的，是要给集合论以逻辑上无可訾议的公理化论述。” 接着写道，“首先我要讲的是构造人们所希望得到的集合论之困难所在。” 这篇1925年写的论文的最后一句话最有趣，冯·诺伊曼指出了任何一种公理化系统所具有的局限性。它模糊地预告了哥德尔（Godel）的结果，即任一形式化体系中存在有无法判定的命题。原话是这样的：暂时，除了陈述集合论本身的缺陷外，我们还有什么可做呢？没有一种已知的方法能避免其中的困难。（讲到这儿，人们也许会想起一段类似的论述，当然是在完全不同的科学领域，即泡利在他的物理手册中的文章对相对论性量子理论的评价以及对场论中无限大和发散性所起的神秘作用的评价。）
他关于这个主题的第二篇论文[18]，题为《集合论的公理化》。（1925年的那篇题为《集合论的一种公理化》。
关于此文，耶路撒冷的希伯莱大学有位教授弗兰克尔（Fraenkel）曾写信给我谈到过：
“大约1922-23左右，我在马堡（Marburg）大学当教授，曾收到柏林艾哈德·施密特教授（代表数学杂志（Mathematische Zeitschrift）编辑部）寄来的一篇很长的手稿，题为《集合论的公理化》，作者是冯·诺伊曼，当时我不认识他。该文最终成了他的博士论文，到 1928年登在该杂志（卷27）上。文章似乎是无法理解的，我被要求对此发表意见。我不能坚持说我已把一切都理解了，但可以确有把握地说这是一件杰出的工作，并且透过它可以看到—位巨人。回信时我就这样讲了，同时邀请这位年青的学者来访（到马堡），我和他讨论了许多事情，并着意劝他写一篇更简明的文章，来强调他搞这个问题的新方法和基本结果，以便提供一个基础理解他那如此专门的长文。他写了一篇这样的短文，题为：集合论的一种公理化，我把它发表在1925年的数学杂志（Journal Fur Mathematik）卷154上面，我当时任该杂志的副主编。”
该公理系统的简洁性是惊人的，对应于朴素集合论中的集合及集合之性质分别引进第一型和第二型对象；公理只占了一页多一点的篇幅。这对建立朴素集合论的所有内容已经足够了，同时，全部现代数学可以在这个基地上确立；直到今天，它仍是集合论数学最好的基础之一。哥德尔在他那关于选择公理之独立性和关于连续统假设的伟大工作中，就用到了一个受此启发而获得的体系。值得注意的是，冯·诺伊曼在他的首篇讨论集合论公理化的文章中，已经明确地认识到：数学家为了避免布拉里—福梯（Burali—Forti）、里查德（Richard）和罗素（Russell）的悖论，选取了两种根本不同的方向。包括罗素、柯尼格（J．Konig）、勃劳威尔（Brouwer）和魏依尔的一派，采取了比较激进的观点，他们认为必需将精确科学限定在完整的逻辑基础上，以防止出现上述类型的悖论。冯·诺伊曼说，“他们的活动产生的总效果几乎是毁灭性的。”他反对罗素建立在非常成问题的可约性公理之上的数学体系，也反对魏依尔和勃劳威尔抛弃掉那些他认为是数学和集合论中比较重要的部分内容。
他比较赞成不太激进的第二派，其中有策墨罗、弗兰克尔和熊佛里斯（Sehoen-flies）。他认为他们的工作，包括他自己的，还远远没有完成；明确地说，公理似乎有点任意性。他讲，人们不能用这种方式证明真的排除了自相矛盾，而朴素集合论虽然不十分严格，却至少可以把它包含的大部分内容加以改进，使其成为一个形式体系，这样的“形式化”含义就能用清晰的方式被定义。
冯·诺伊曼的体系给出了集合论的第一个基础，该体系基于有限条公理，它们具有如同初等几何公理那样简单的逻辑结构。看起来，公理系统的简洁性和所使用的推理的形式特性实现了希尔伯特将数学处理成有限游戏的目标。这里，人们能够预测到冯·诺伊曼未来的兴趣落脚在计算机和“机械化”证明方面的原因。从公理出发，巧妙地使用代数方法导出集合论中许多重要概念的能力确实叫人惊叹不已；论述的经济似乎点明更基本的兴趣在于简洁而非其本身艺术上的美。这就为按照“机器”或“自动机”的概念来研究有限形式体系的范围准备条件。当然，莱不尼兹也有很多这类想法。
有一件事我觉得很奇妙，许多次谈论数学中属于集合论或类似的课题时，冯·诺伊曼的思考完全是形式的。大多数数学家在讨论这些领域的问题时，总喜欢有一种表面直觉的框式，它基于抽象集合及变换等的几何的甚或是可触觉的图象，而冯·诺伊曼给人的印象是不断地进行纯形式的推理。我要说，他所具有的基础直觉看来属于非常罕见的类型，它恰和“朴素”的直觉一样，能导出新的定理和证明。假如你一定要把数学家分成两类（如庞加莱建议过的）——有视觉直观和有听觉直观的 ——那么约翰尼也许属于后者。然而，
他的“听觉直观”大概是非常抽象的。恰当地说，这种直觉能给下述两方面以互相补充，一大堆符号以及用它们进行游戏的形式外观和关于它们的意义的解释。上述区别多少有点象头脑中这样两幅图案间的差别：实际的棋盘和用代数记号写下的在它上面走的棋局。
在关于数学基础之现状的谈话（有些是相当近期的）中，冯·诺伊曼看来有一种观点，认为故事还远远没有讲完。哥德尔的发现应该引出一种新的途径去理解数学中形式主义的作用，而不应把它当作问题的结束。
文章[16]把文章[2]中简略完成的结果加以严格的公理化叙述。文章第一部分是关于集合论中基本运算的导论，讨论等价、相似性、良序性定理的基础，最后证明了用有限或超限归纳法下定义的可能性，包括处理序数在内。冯·诺伊曼在文章导论的结尾，正确地坚持了这样的观点，即无论在集合论的公理系统或非公理系统中，过去都没有严格地引进过超限归纳法。
冯·诺伊曼关于集合论公理体系的文章中，最能引起兴趣的也许是文章[23]。它是关于某种充分必要条件的、为了定义集合的集，这些集合的一个性质是必须满足这个条件，即在所有的集合和具有要研究的那种性质的集合之间，绝不存在一一对应关系。冯·诺伊曼把这个集合存在性原理作为公理，此时，其它体系中采用的一些公理，特别是象选择公理，可以由它导出。反之亦然，现在已经证明其它的那些公理也蕴涵冯·诺伊曼的公理。因此，只要通常的公理是相容的，那么它也就被证明是相容的。关于这个公理，哥德尔说：“这条公理的重要性在于：它是极大性原则，多少有点象几何中的希尔伯持完备性公理。因为，粗略地讲，它是指采用某种适当的定义方法，总存在有不包含不相容性的集合。说它是极大性原则，也解释了如下事实，即这条公理内包含选择公理。我相信，抽象集合论的基本问题，正象康托尔的连续统问题一样，只能借助于这一类更强的公理才能满意地解决。这类公理本质上和数学的构造论解释是对立的或互补的。”
[12]是他的一篇了不起的文章，登在杂志《Mathematische Zeitschrift》上，题为“关于希尔伯特的证明论”。它讨论将数学从矛盾中解脱出来的问题。这一经典性研究包括了对数学形式主义最原始概念的一般解释。它强调指出，由希尔伯特提出和发展的，也曾被伯内斯（Bernays）和阿克曼（Ackermann）讨论过的问题之全部复杂性还没有被满意的解决。它还特别指出，阿克曼排除矛盾的证明不能在古典分析中实现。因此，他代之以对某个子系统的严格的有限性证明。事实上，冯·诺伊曼的证明表明（虽然讲得不十分清楚），量词和命题联结词有限次地叠合到任一有限性（即可判定的）关系上是相容的。这离基于希尔伯特最初的计划（即用严格的有限性方法）所能获得的问题之最终解决已经不远了。不过，冯·诺伊曼那时猜想，用同样的方法可以证明整个分析是相容的。今天，人们一定会感到，由希尔伯特及其学派开创的思想，已有了相当精确地发展，经哥德尔之手曾引起了一场革命，但仍然没有彻底完成。我们也许正处在另一次伟大的变革之中：我想，无论是集合论的“朴素”处理还是试图把我们关于无限的那一套直觉包进形式元数学的努力，都正在转向一种未来的“超集合论”。数学史上不乏这样的例证，直觉或者说一些第一流数学家关于现存科学问题所共有的但是模糊的认识，后来在讨论原体系所存问题之本质时，融合进形式的“超体系”中去了。
冯·诺伊曼对数学基础的兴趣一直延续到他生命的结束。上述一系列文章出现之后四分之一世纪内，他众多发明中的这项工作在计算机逻辑设计方面留下了印痕。和数学基础的工作相平行的，他得到了有关集合论本身的专门结果以及由集合论所诱导出的关于实变数和代数方面的定理。比如，冯·诺伊曼证明存在一个实数集合 M，它具有连续统的势，使得M中任意有限个元素部是代数独立的。这个证明实际上不需要用到选择公理。在杂志《数学基础》（《Fundamenta Mathematicae》）上发表的文章[14]中，他把区间分解成可数个互不相交的全等子集。这解决了斯台豪斯（Steinhaus）问题——在一个区间上进行这种分解需要特别精巧，相应的关于圆周的豪斯道夫（Hausdorff）构造是相当容易的（这是因为圆周可以看成是一个群流形）。
关于一般测度论的文章[28]（登在1929年的《Fundamenta Mathematicae》上），对群的子集讨论了有限可加测度问题。由蒙斯道夫作出的球面不合理分解以及巴拿赫（Banach）和塔斯基（Tarski）的奇异分解都从欧几里得空间推广到一般的非阿贝尔群。巴拿赫关于平面上一切子集使用一个测度的可能性这一正确结果也被推广到交换群之子集的情形。最后的结论是，所有可解群都是“可测度的”（即，那样的测度可被引入到可解群上）。
这篇文章中的问题和方法，是把集合论的结果从欧几里得空间推广到更一般的拓扑和代数结构中去的第一批例子之一。从那时起，这种趋势强烈地向前发展了。两个集合的“全等”披理解为在给定的变换群中的变换下等价。测度是一种一般的可加集函数。这种阐述方式预示哈尔（Haar）的工作和进一步研究豪斯道夫—巴拿赫—塔斯基的不合理分解。最近，已被R.M.罗宾逊推进到最极端的极小形式。
在奇迹般的1928年，还出现了博弈论的文章。这是他在这方面的第一件工作。后来，博奕论成了重要的组合理论，它有如此众多的应用和发展，一直生气勃勃地继续到现在。几乎很难相信，从1927年起他在进行上述工作的同时，又发表了大量其它的文章，它们涉及量子理论的数学基础、统计量子理论中的概率论以及某些关于连续群表示的重要结果！
实变函数论，测度论，拓扑，连续群
哈尔莫斯（Halmos）教授的文章*描绘了冯·诺伊曼对测度论的重要贡献。这里将以其他的工作为背景，简要地提出他的某些结果。
（*该文题目是“冯·诺伊曼关于测度和各态历经理论”，刊于《Bulletin of the American Mathematical Society》。Vol.64. No.3. Part2. May，1958。这期杂志是关于冯·诺伊曼的纪念文集，共有八篇文章，此文是其中的一篇，本文所译乌拉姆的文章是第一篇。其余各篇的作者和题目如下：
G.Brirkhoff. “冯·诺伊曼和格论”；
F.J.Murray. “算子理论，I．单算子”；R.V.Kadison．“算子理论，Ⅱ.算子代数”；
Leon Van Hove. “冯·诺伊曼对量子理论的贡献”；H.W. Kuhn和A.W．Tucker. “冯·
诺伊曼博弈论和经济数学方面的工作”；C.E.Shannon. “冯·诺伊曼对自动机理论的贡献”。——译者）
论文[35]解答哈尔的一个问题。它是关于从各函数类中选取代表的，每类函数除了一个有限系之幂乘积上的线性流形中的零测集外皆等价。这样，问题被推广到和勒贝格测度不同的测度，而类似的问题同样被解决了。
论文[45]中包括测度论中一个重要事实的证明：两类可测集（在两个测度空间上）之间任一保持其测度的布尔映射可由保持测度的点变换生成。这个结果对证明更一般的测度空间（它们是可分和完备的）和定义了勒贝格测度的欧几里得空间之等价性是重要的，这个结果还把可测集的布尔代数之研究化约为普通测度的研究。
在论文[5l]中，冯·诺伊曼针对在乘法成群下左或右（勒贝格型的）测度不变的情形，证明了阿·哈尔所构造的哈尔测度（见Ann.of Math．卷34，147—169页）的唯一性。这个唯一性定理是对紧致群而言的，用一种不同于哈尔的构造引进他的测度。这篇文章是构造可分拓扑群上几乎周期函数的一般理论的先导，并允许有一种它们的正交表示理论。
论文[54]将一般仅用于定义度量空间的通常的完备性概念推广到线性拓扑空间。还造出了有趣的非度量而完备之空间的例子，其中当然包含不可分空间。文章中也包括新奇的伪度量和凸空间的构造。
论文[59]是和约当（P.Jordan）合写的，它给出了由佛莱谢（Frechet）提出的一个问题的解，即在线性度量空间中推广了的希尔伯特空间之特性问题的解。结论比佛莱谢的强，其条件是充分必要的：一个线性度量空间L是与希尔伯待空间等度量的，当且仅当其每一个2-维线性子空间是与欧几里得空间等度量的。
和斯通（M.H.Stone）合作的论文[60]推广了论文[35]的结论，并且讨论了从一个抽象环模一个给定左和右理想的剩余类中选取代表元。该文包括几个关于模一个理想的布尔环之表示的定理。
在俄文杂志《Сборник》上，冯·诺伊曼的文章[64]再次讨论了哈尔测度的唯一性。以前的证明是通过构造一种不同于哈尔的方法完成的，它不包括任意的元素并且自动地引导到测度的唯一性。该文独立地论述了局部紧致可分群之左和右不变外测度的唯一性。（一个不问的证明同时被魏尔（Andre Weil）得到。）
和库拉托斯基（Kuratowski）一起写的论文[69]，得到了由超限归纳法定义的某些实数集合之射影对应性的精确而且很强的结果。著名的勒贝格集（Journal de Mathematiques，1905，第八章），先前曾被库拉托斯基证明是第三射影类的，此处又被
证明是两个解析集的差，因此，它们是第二射影类的。一般性定理的证明是通过某些一般构造的集（在豪斯道夫意义下）之解析特征而获得的。这个结果对未完成的射影集理论好象会起重要作用。
发表在《Compositio Mathematica》上的论文[75]是关于无限直积的，它包括对现代抽象分析特别重要的体系的一种算子代数理论和测度理论。它概述了以前在函数算子代数及算子环的拓扑方面的一些工作，包括不可分的超希尔伯特空间。在方法论和实际构造方面，此文对数学（活象是一座代数概念的金字塔）中大量新的工作既是先驱又是很好的入门向导。从向量空间出发，首先处理它们的积，然后讨论这些结构上的线性算子；最后研究这样的算子的类，其代数性质又在“第一流的水平”上得到研究。冯·诺伊曼打算讨论 这个精心构造的系统和量子理论中超量子化论的类比，而且认为该文可以特别当作不可数积的数学准备。
我相信，论文[24]是第一篇对希尔伯特第五问题做出十分有意义的贡献的文章：在连续群中改变参数的可能性将使群的运算变成解析的。文章研究了n维空间线性变换群的子群，并得出如下肯定的结论：每一个这样的连续群有一个正规子群，它可以被解析地并且依有限个参数一一对应的方式局部地表示出来。该定理第一次说明，群的这个性质避免了实变函数论中通常有的“病态”可能性。文章的结论（后来，卡丹（E.Cartan）把它推广到一般李群的子群，而且加以简化）通过指数算子积的代表元给出了这种群之结构的详细透彻的了解。它们证明，凡线性流形（每一个都包含两个矩阵U，V和它们的换位子UV-VU）皆是一个整群G 的无穷小群。这篇文章的历史重要性在于它出现在卡丹的工作之前，其后才有阿多（Ado）的文章，当然还有冯·诺伊曼自己的文章[48]，其中，希尔伯特第五问题在紧致群的情形下获得了解决。这个享有盛名的结果是受了哈尔文章（在杂志Annals of Math．的同一卷上）的启发并以它为基础的，后者在连续群中引进了不变测度函数。冯·诺伊曼证明（利用彼得—魏依尔积分在群上的一个类比；使用了按积分算子的有限个特征函数之线性组合的函数逼近定理——施密特（E.Schmidt）学位论文中的方法，还巧妙地运用了关于n维欧氏空间中区域不变性的勃劳威尔定理）；每一个紧致的n维拓扑群都连续地同构于有限维欧氏空间的酉阵的闭群。
这篇文章的方法可以描述更一般的（不一定是n维的）群作为那些n维群的无限积子群。文章第二部分给出了一个作用到欧氏空间上的有限维非紧致变换群的例子，它是用这样的办法得到的，即不改变该空间中的参数而使被给定的变换变成解析的。包括“开”（即非紧致）n维群的情形在内的希尔伯特第五问题直到差不多20 年后才被蒙哥马利（Montgomery）和格里森（Gleason）所解决。冯·诺伊曼得到这样的成就需要极丰富的集合论和实变的技巧，要搞清楚勃劳威尔拓扑的精神实质，还必须真正通晓积分方程和矩阵计算的技巧。
文章[50]体现了抽象代数思维方式和分析技巧的完美结合，该文是和约当及魏格纳（Wigner）合写的，讨论量子力学形式体系的代数推广。它是今后推广量子力学理论的一个可能的出发点。文章并研究了交换的但非结合的超复系代数。其基本结果是：所有那种形式的实有限且可交换的r-数系统，除了一个例外都仅仅是矩阵代数而已。而这个例外对量子理论中所必需的推广也只涉及狭小的范围。
在“美国数学会公报”（《Bulletin of the American Mathematical Society》）提及但未发表的一个结果[附录2中14]中，包括关于三维球面上所有同胚曲面群的（单位分量的）单纯性定理。具体的定理是：给定两个任意的同胚A、B（两者都不等于恒等变换）——必存在A的某确定个数（23就足够了！）的共轭，它们的积等于B。
希尔伯特空间，算子理论，算子环
在本卷中，马瑞（F.J.Murray）教授和凯狄生（R.V.Kadison）教授的文章详细说明了冯·诺伊曼在这些课题方面获得的基本和广泛的结果。他对该主题最早的兴趣也是在研究量子理论的严格形式化时产生的。1954年，在一张为国家科学院填的问答表格中，冯诺伊曼写道，这项工作是他的三项最重要的数学工作之一。这方面的文章大约占了他发表了的论文的三分之一。它们包括对线性算子性质极详细的分析，还对无限维空间中的算子类（环）进行代数方面的研究。这些结果应验了他在《量子力学的数学基础》一书[47a] 中所声明的目标，他在该书中指出：由希尔伯特最早提出的思想就能够为物理学的量子论提供一个适当的基础而不需再为这些物理理论引进新的数学构思。冯·诺伊曼对酉空间线性性质分类的工作做得精细入微，解决了许多无界算子方面的问题。它给出了超极大变换的完整理论，而且尽一个数学家之能把希尔伯特空间的研究引到几乎象有限维欧氏空间一样完满的境地。
他对这个课题的兴趣贯穿了他的整个科学生涯。他在进行其它专题的研究中间，不断获得和发表关于算子性质和谱论的结果，直至生命结束。论文[106]发表于 1950年，是为纪念艾哈德·施密特七十五诞辰而作的（就是这位施密特把他引入这个迷人的课题）。在解开非紧致性奥秘的大道上，至少是在酉空间和线性变换的研究方面，没有一个人比冯·诺伊曼做得更多。今后的工作在很长一段时间内将基于他的结果。这项工作现正在生气勃勃地进行着，从事的人中有他的合作者和过去的学生——特别要提到马瑞——人们可以期待他们得到对线性算子的更有价值的透彻理解。
格论，连续几何
伯考夫（G.Birkoff）的文章“冯·诺伊曼和格论”介绍了这些专题的工作。这回又是这些新的组合的和代数的方法用到量子理论中去的可能性激起了冯· 诺伊曼的兴趣。1935年左右，伽莱特·伯考夫正在把格论从最早的戴德金（Dedekind）体系加以发展和推广。差不多同时，斯通正着手用代数和集合论的方法系统地研究布尔代数。我记得1935年夏，伯考夫、斯通和冯·诺伊曼参加在莫斯科召开的数学会后返国，途中曾在华沙停留，当时华沙数学会正在开会讨论这些专题和著名的量子理论逻辑体系的新发展。他们在会上发表了简短的谈话，紧接着又进行了讨论，它给人一种希望：一般的布尔代数和格论在量子理论语言的形式化方面会有深入的应用。冯·诺伊曼后来曾多次回来搞这个问题，他的大部分思想记在未发表的笔记当中（吉文斯（Givens）教授正在准备编辑这些讲义笔记，不久将由Princeton Press 出版。另一篇1935年写的关于连续几何的文章即将登在《 Annals of Mathematics》上。）
他关于连续几何和没有点的几何方面的工作，为如下一种信念所激发：量子理论的本原概念是针对实体的；显然，所“论述的对象”是由某些类被视为相同的点或希尔伯特空间中线性流形组成的（这一点，狄拉克（Dirac）在他的书里讲得很清楚）。
这项工作的一部分是为通俗演讲而作的；记录在普林斯顿研究所的讲演集里，有些还是手稿。在几次牵涉这个问题的谈话中，我有这种印象：大约从1938年左右起，冯·诺伊曼感到核物理的新证据和新问题已提出了全新类型的问题，因而仅仅固执于完美的关于原子现象的量子理论的数学形式化已经不够了。战后，他表示了一种想法（多少有点象爱因斯坦所公开说明的），即核的和基本粒子物理的那些使人手足无措的大量发现，至少是暂时地会促成一种过早的企望，即把一般的场论化形式。
理论物理
凡·霍夫（V.Hove）教授评述了冯·诺伊曼在这方面的工作，文章题为“冯·诺伊曼对量子理论的贡献”。在前面提到过的为国家科学院填的问答表中，冯·诺伊曼选择了量子理论的数学基础和各态历经定理作为他最重要的科学贡献（加上刚讲过的算子理论）。对他的这种选择，或者说约束，大多数数学家会觉得很奇特。不过要是从心理学的角度来分析倒很有趣。它似乎表明，他的主要愿望以及最强的工作动力之一，也许是在理论物理的概念水准上协助重新建立数学的作用。无可否认，从第一次世界大战结束以来，他逐渐离开了抽象数学的研究，也疏远了理论物理方面的主要思潮。冯·诺伊曼常常担心数学可能跟不上物理科学中出现的以指数增长的问题和思想的发展。记得有一次谈话时，我表示担忧可能会发生如马尔萨斯人口论式的脱节：物理科学和技术以几何级数增长发展而数学的发展只以算术级数增长。他说情形确实可能如此。但在后来的讨论中，我们俩又都抱有这样的希望：在一个长时期内，数学方法还会对精确科学起概念上的核对作用！
文章[7]是和希尔伯特以及诺戴姆（Nordheim）联名发表的。从序言知道该文是基于1926年冬希尔伯特关于量子理论新发展的讲演，这篇讲演的准备过程中得到了诺戴姆的帮助。导论中又说明关于数学形式化那部分重要讨论是冯·诺伊曼做的。文章的目的是将经典力学中的精确函数关系代之以一种概率关系。它还把约当和狄拉克的概念表成相当简单和更容易理解的方式。三十年后的今天，无论怎样估价这篇文章及他在这方面的工作的历史重要性和影响都不会过高。希尔伯特关于公理化的伟大纲领在这儿又开辟了另一个生气勃勃的应用领域，获得了物理理论和相应的数学体系间的同构关系。文章的导论中清楚地指出，如果不把一个理论的物理解释和它的形式加以完全而简明的区分，那么要理解这个理论是困难的。这种区分就是那篇文章的目的，不过文章同时承认完全的公理化是不可能的。顺便提一句，一种相对论性的不变量子理论的完全公理化，包括对核现象的应用，还是得到了。（关于原子现象范围内非相对论性量子理论公理化的现状，有一篇出色的、简明的概论。参看乔治·马凯（Geoge Mackey）的“量子力学和希尔伯特空间”（Amer．Math. Monthly，1957年10月），它基本上仍是依据冯·诺伊曼的书《量子力学的数学基础》的。）该文还包括相应于物理中可观察算符的算子运算的轮廓，讨论丁埃尔米特算子的性质，两者结合就组成了《量子力学的数学基础》一书的序曲。
冯·诺伊曼关于量子理论中统计力学的作用和度量问题的精细而明确的观念出现在论文[10]中。他的名著[47a]既给出了公理化叙述，又给出了度量理论，还极详细地讨论了统计学 。
在量子力学史上，他至少作出过两个重要的数学贡献：从数学的观点看，狄拉克的数学处理并不总是严格的。例如，它按这样的假设行事，即要求每一个自伴算子都可化为对角型。对于做不到达一点的算子，人们不得不被迫引进著名的狄拉克“非正常”函数。正如冯·诺伊曼所说，下述看法好象是先验的：象牛顿力学（在那个时候）需要有矛盾的无穷小计算一样，似乎量子理论也需要无穷多变量的新分析形式。而实际情形并非如此，冯·诺伊曼的成就证明：变换理论能够建立在明了的数学基础之上，其办法不是去改正狄拉克的方法而是去发展希尔伯特的算子理论。冯·诺伊曼完成了这项工作，那是通过研究无界算子——它超出了希尔伯特、吕兹（F.Riesz）、施密特和其他人的经典理论——而得到的。
第二个贡献的内容见于他写的书的第五、第六章。它必须用到量子理论中的度量问题和可逆性。当初，海森伯（Heisenberg）、薛定谔（Schrodinger）、狄拉克和玻恩（Born）的思想获得了轰动世界的成功，可是就在此刻，已经提出了不确定性在该理论中的作用问题。同时，提出了可能存在“隐”参量的各种假设（发现这些“隐”参量是将来的事），并建议用它们来进行解释，或许能使问题返回到有十分确定性的描述。冯·诺伊曼指出，该理论的统计特性井非由于从事测量的观察者之状态未知所致。即使能让观察者处于一种精确的状态，由被观察物和观察者组成的系统也仍会导致不确定关系。借助于希尔伯特空间的算子，证明了凡包括一般的物理量缔合性的量子理论之假设，都必然引起这种结果。（这里不可能概括其中的数学论证。大多数物理学家至今仍同意冯·诺伊曼主张。当然，并不是说凡和目前的量子力学的数学形式不同的理论，就不承认隐参数所起的作用。关于目前的讨论，可以参看Colston 研究会第九次学术讨论会的会议录。这次会议在Bristol大学举行，时间是1957.4.1至4.4。其中有玻姆（Bobm）、罗森凡尔得（Rosenfeld ）等人的讨论。）且不论这项工作巨大的给人以教诲的价值（无疑它提出了新量子理论的观念，其形式和技巧很合数学家的口味和兴趣），单就其试图以合理的表示法赋予物理理论这一点就是了不起的重要贡献，因为物理学家最初表述的理论是基于一种非普遍可传达的直观。虽然不能断言已引进了新奇的有物理含义的概念—— 这些年里，由薛定谔、海森伯、狄拉克和其他人设想的量子理论，对于已发现的原因不明的物理现象来说仅仅是一个未完成的理论框架——冯·诺伊曼的论述至少为严格的处理提供了一种逻辑和数学上清晰的基础。
分析，数值工作，流体力学方面的工作
一篇早期的论文是[33]。在这篇论文中，通过一种简单的几何构造证明了拉多（Rado）的一条变分学基本引理（该引理断言：一函数，若最大倾角大于常数 的任一平面与这已给函数所定义的曲面的边界没有三个以上的交点，则该函数满足关于常数的李普希兹条件）。证明采用了几何直观的方法，这在冯·诺伊曼所发表的工作中是颇为少见的，从这点来说，这篇论文也是很有意思的。论文 [41]包含了过去四分之一世纪中最有影响的数学分析成就之一，它是一整个研究领域里第一项精确的数学结果，即统计力学中各态历经假设的严格处理。库泼曼发现了将哈密顿动力系统的研究归结为希尔伯特空间算子研究的可能性，冯·诺伊曼的结果正是受着库泼曼发现的推动。采用库泼曼的研究，冯·诺伊曼证明了一条定理，现在通称为弱各态历经定理，或在一测度空间上一个叠代的保测变换函数按平均测度的收敛性。正是这条定理（它后来被伯考夫加强为几乎处处收敛的简单形式），为古典统计力学提供了第一个严格的数学基础。这个领域随后的发展和这些结果的大量推广已经众所周知，此处不拟详细提及。这一成就再一次归功于冯·诺伊曼所掌握的受集合论影响的分析方法和他自己在希尔伯特空间算子研究中创造的那些方法的综合技巧。又一个数学物理领域开始接近现代分析的精确而一般的研究。在这一例子中，人们取得了伟大的初步进展，但事情确实远没有做完；经典动力学情形下统计力学基础的数学处理还很不完善！有了各态历经定理和关于度量可迁变换存在的知识，是一件好事情；然而这些事实仅仅形成该学科的初步基础。冯·诺伊曼在谈话中常常表示一种看法，即未来的进展将依赖于那样一些定理，它们能够对这一学科后起的部分进行充分的数学处理。玻尔兹曼方程的完备的数学理论以及关于系统趋于平衡的速度的精确定理是很需要的。
文章[56]包含了重要的工作，是与波赫纳（S．Bochner）合作的。使用算子论方法允许对形如 的偏微分方程的性质进行讨论，其中 ，A 在热传导问题中取形式或者 为非静止状态薛定谔量子力学方程的能量算子。
与许恩贝格（Schoenberg）合作的论文[80]是一个综合使用分析与几何技巧的例子。
设 为一距离空间， 是其中任意两个元索间的距离，我们称一函数 （它在 中取值并连续）为旋转（Screw）函数，如果，基本定理确定了一个希尔伯特空间中所有这样的函数类，并确定了它们的形式（任一这样的函数 由下式给出：此处 对 而言是非减的，且使得 存在）。
论文[86]反映出他在逼近问题和数值研究方面兴趣的增长，这篇论文似乎没有受到应有的注意。在我看来，它具有很大的启发价值。它述及到大数 的阶有限矩阵的性质。还研究了维复欧氏空间上一切线性运算的空间的性质。这项工作是直接而详细地进行的，在前言中明确指出：同研究极限情形即真正无限维酉空间（也就是希尔伯特空间）的通常途径相比，这样一种渐近的方法被不合理地忽视了。（奇怪的是，在他的著作《量子力学的数学基础》的引论中却表达了几乎完全相反的观点。）
一般地说，这篇文章涉及 阶矩阵的性质或把它们看作为 阶矩阵时的渐近性质（ 比小且为的因子）。利用矩阵空间中给定的度量或伪度量，渐近性质的概念得到了精确化。我想补充的是：这篇论文在叙述上有一种值得称道的初等性，这在他的关于希尔伯特空间的工作中是不常见到的。
他与巴格曼（Bargmann）和蒙哥马利合作的论文[91]，继续进行同一类型的工作。它包含了对解线性方程组的各种方法的说明，并探讨了当时已经开始出现的使用电子计算机 进行计算的可能性。
在应用分析问题中，战争引起了快速地估计和逼近问题答案的需要，这些问题往往以很不“整齐”的形式出现，也就是说，它们在数学上属于很不相同的类型，所计算的物理现象，除了主要的过程外，还涉及一些外部扰动，这些扰动的影响不能忽略，并且也不能被分离成附加的变量。这种情形在今天的技术问题中也常出现，它迫使我们（至少在开始时）求助于数值方法，并且，这样做并不是因为我们需要很高精度的结果，而仅仅是为了进行定性分析。这个事实，对于纯粹派的数学家来说是颇为遗憾的，冯·诺伊曼却了解它，当时，他在数值分析方面的兴趣大大增长了。
同哥德斯坦（H．Goldstine）合作的论文[94]，提出了高阶矩阵的数值求逆问题。尤其是，这篇文章试图给出严格的误差估计。对150阶矩阵求逆所能达到的精度，得到了一些有意义的结果。这种估计是在“一般情形”下进行的。（所谓“一般”，是指在似乎可能的、被假定的统计之下，这些估计除去一个低概率的集合外都成立。）
在这一课题上，接下去一篇论文[109]研究了寻求最优数值估计的问题。已给矩阵 ，其元素为独立随机变量，每一个都呈正态分布，该矩阵的上界超过2.72 （ 为每个变量的离差）的概率，小于 。
高速电子计算机的发展，最初是为这样的需要所推动，即对数学物理和工程中的问题迅速地指明方向并作出解答。作为副产品，有时也有机会做一些比较轻松的工作！我们这就来试一试，使我们对于某些有趣的整数序列的好奇心，能够在一定程度上得到满足。可以举一些最简单的例子，例如 和展开成无限小数序列，计算其中数字0，1，…，9出现的频率，一直算到几千位。在高等研究所的计算机上进行的这样一次计算，给出了2的立方根连分式展开的头2000项部分分数。对这种实验工作，约翰尼总是兴趣盎然，不论问题是多么简单和机械；一次在洛斯阿拉莫斯讨论这类问题时，他请求给他一个“有趣”的数来计算其连分式展开。我提出了由方程给出的四次无理数 （这里），其连分数展升可能出现一些奇怪的不规则现象。还打算进行许多其它数的计算，但我不知道这些小小的计划后来有没有被执行过。
博奕论
这门学科形成了现代数学研究中崭新而又发展迅速的一章；它主要是由冯·诺伊曼创立的。他在这个领域里的基本工作将由吐克（A．W．Tucker）和库恩（H．W. Kuhn）在本卷其它地方来介绍，我将满足于指出：博奕论显示了冯·诺伊曼最丰富、最有影响的一些工作。第一个明确提出描述二人对弈策略的数学方案的人是波莱尔（192l，《The Comptes Rendus》中的一条注记）。但这门学科的真正创立，是从冯·诺伊曼的论文[17]开始的。正是在这篇文章中，证明了基本的“极小极大”定理，明确表述了 个游戏者之间的一般博奕方案（ ≥2）。这些方案，除了对经济学等领域中实际博奕的意义与应用外，还产生了大量纯粹数学意义上的新的综合问题。min max＝max min这条定理，以及关于多元函数鞍点存在的推论，都包含在他1937年的一篇论文[72]中。可以证明，它们是一般的勃劳威尔不动点定理和下述几何事实的推论。设 是两个分别包含在欧氏空间 和中的非空凸闭有界集， 是这两个集合的直接积； 是它的两个闭子集。假定对于 中的每个元素 ，使 属于的一切 的集合 是一个闭凸非空集。同样假定对于T中的每个元素 ，使 属于 的一切 的集合 也具有这种性质。那么 与至少有一个公共点。这条定理，后来又被角谷（Kakutani）、纳什（Nash）、勃朗（Brown）和其他人进一步讨论过，它在“ 好的策略”的存在性证明中起着重要的作用。
博奕论，包括目前的无限博奕研究（由波兰人马朱尔（Mazur）于1930年左右最先明确提出），是处在生气蓬勃的数学发展之中。只要参看《对博弈论之贡献[102；113； 114]这三卷著作中所包括的工作，就足以指出这一领域里丰富多采的思想，各种纯粹数学意义的天才表述，以及日益增加的大量重要的应用；这里还有许许多多提法简单却尚未解决的问题。
经济学
摩根斯顿（O．Morgenstern）和冯·诺伊曼的经典论文《博弈论与经济行为》[90]包含了博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际博弈应用的详细说明；这篇论文，与某些经济理论基本问题的讨论一起，引起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同研究。经济学家摩根斯顿——冯·诺伊曼在普林斯顿多年的朋友，使他对于经济形势问题产生兴趣，特别是二人以上的货物交换问题，垄断、市场控制和自由竞争的问题。正是通过企图从数学上来描述这样一些过程的讨论，这一理论开始形成它现在的样子。
当前对于“运筹学”、通讯问题以及沃尔特（A．Wald）的统计估计理论的大量应用，也是导源于这篇论文所提出的思想，或者是借用了这些思想。在本文中，我们不能勾出这些研究的大概轮廓。感兴趣的读者可以在例如下列文章中看到这方面的说明：霍尔维兹（L.Hurwicz）的《经济行为理论》（American Economic Review，vol.135（1945）pp.909-925.），马尔夏克（J.Marshak）的《诺伊曼和摩根斯顿对于静态经济学的新途径》（Journal of political Economy，vol.54（1946）pp.97-115．）。
动力学，连续介质力学，气象计算
在与钱德拉塞卡（S．Chandrasekhar）合写的两篇论文[84]、[88]中，研究了下列问题：设有一随机的质心分布；这些质量例如可以是—星团中的星或是一星云中的星团。它们互相吸引并处于运动之中。问题是要发展涨落引力场的统计学以及研究单个质量在变化的局部分布的变动影响之下的运动。在第一篇论文中，通过巧妙的计算解决了引力分布函数的涨落速率问题，并获得了概率分布 的一般公式， 为引力场强度， 为相关的变化速率，它是对时间的导数。所获结果中有这样一条定理：对于弱场来说，在任一给定瞬间作用的场中出现的变化的概率，与初始场的方向和大小无关，而对于强场来说，在初始场某一方向上出现的变化的概率，是与该方向相垂直的一个方向上出现的两倍。第二篇论文对作用于一星体上每单位质量的引力变动速率进行统计分析，该星体以速度相对于邻近星体的形心作移动。这问题在星体呈一致泊松（Poisson）分布且局部速度呈球面分布的假设下被解决了。对于各种质量的一般分布，问题也被解决了，导出了作用于两个非常接近的点上的引力相关表达式。所用的方法给出了空间相关的渐近行为。冯·诺伊曼很久以来就对湍流现象感兴趣。作者记得1937 年关于纳维-斯托克斯方程的统计处理的可能性的讨论，这种处理是通过将该偏微分方程换成无穷多个全微分方程来分析流体动力学问题而进行的（这些全微分方程为拉格朗日函数傅立叶展开中的傅立叶系数所满足）。1949年，冯·诺伊曼为海军研究部写了一个油印报告《湍流的最新理论》，对翁沙葛（Onsager）和柯尔摩哥洛夫（Kolmogoroff）的思想作了深入浅出的介绍。
从第二次世界大战开始，冯·诺伊曼研究了可压缩气体运动以及特别是形成间断的复杂现象（例如冲击波）中所出现的问题。
在这个领域里，他的多产的研究大部分是受着国防事业中提出的问题的推动。它们以报告的形式被发表。在文献目录中我们选列了一部分。
要在这里来概述这方面丰富多采的工作是不可能的；它们大多数都显示出锋利的分析技巧，井具有那种传统的逻辑清楚的特点。他在碰撞冲击波的相互作用方面的贡献尤其值得注意。其中的一个结果是首先严格地证明了恰普曼-儒格（Chapman-Jouguet）假设，该假设与爆震过程即冲击波所引起的燃烧过程有关。
关于冲击波反射理论的最初的系统研究也是从冯·诺伊曼开始的（《冲击波理论进展报告》，NDRC，Div8，OSRD，No.1140，1943和《冲击波的斜反射》，Navy Department，Explosive Research Report No.12，1943）。
正如前面已经注意的那样，在二维或三维情形，即使是定性地研究可压缩介质的运动问题，也已超出了目前显式分析的能力。更糟的是，迄今还没有能建立起可以描述这一物理现象的某种理论的合适的数学基础。论文[108]中的一段评论，很好地表达了冯·诺伊曼对这问题的意见：
“我们通过数学推理找出的解在自然界中是否真会出现呢？几个有某些好的或坏的性质的解的存在性是否能事先排除呢？这方面的问题是非常困难和很含糊的。这个课题，在古典文献及最近的文献中都一直在被研究，这些研究有的严格，有的粗略，水平参差不齐。总之，在这个领域里，想要肯定什么事情始终很困难。在数学上，我们一直处于一种不确定的状况，因为，关于解的存在性与唯一性的通常定理（这是我们所希望的）还从未得到证明，而且这些定理在其显然的形式下有可能并不成立。”
后面又说道：
“这样，在流体力学中，关于产生间断、要求某种合理的热力学性质等等的问题，就存在各种数学上的可能性。可能会存在一组条件，在这些条件下，每个提得合适的问题都有并且只有一个解。但这个解究竟是什么，我们只能进行猜测，并且在寻找这个解时我们几乎必须完全受物理直觉的指导。因此，要对每一点都很明确是不可能的。并且，对于以任何精确度得出的任何一个解，我们很难说它就是自然界中必定存在的解。”
即使只是为了获得关于这些困难问题的启发性知识，人们也必须求助于特殊情形的数值研究。在一系列的报告中，冯·诺伊曼讨论了最佳计算方案、差分格式以及计算格式的数值稳定性问题。我们要特别提出他与黎希特梅（Richtmyer）合作的论文[100]，这篇文章没有明显地引入冲击波条件和间断性，而是引进了一种纯数学的、虚构的粘性，这使我们可以根据通常的流体力学方程逐步地计算冲击波的运动，而不必明确地假设冲击波的存在。
有相当一段时间，地球大气运动的流体力学方程所提出的极为困难的问题强烈地吸引着冯·诺伊曼。随着电子计算机的出现，有可能对这些问题（至少是经过简化的形式）进行详细的数值研究，冯·诺伊曼开始制订了这一研究工作的庞大计划。在普林斯顿研究所，建立起一个气象研究小组⒀；计划是要通过对越来越精确地近似大气的实际性质的模型进行逐步求解而解决数值天气预报问题。对于实际的三维运动的数值研究，目前即使在最高级的电子计算机上也无法实行（从现在起比如五年以后，情形也许就不会如此了）。
冯·诺伊曼搞的第一个高度规格化的计算，处理的是一个二线模型，并且大部分都与地转近似有关。后来，通过使用两三个与相互作用的不同等高线或等压线相应的二维模型，实现了可以称为是“ ”维的流体力学计算。他非常重视这个问题，这一方面是因为它在数学上的启发意义，同时也是因为可以得到一个成功的解所可能有的大量技术结果。他相信，我们关于控制大气过程的动力学知识，与计算机的发展一起，正在达到能够实现天气预报的阶段。他还相信，人们最终将能够了解、计算并实现控制与改变气候的过程。
在论文[120]中，他预测这样一个时代将会来临，那时人们能够利用巨大的原子能源来引起与“宏伟的地球本身”同数量级的大气环流的变化。在物理现象已经清楚的那些问题中，未来的数学分析也许会使人类控制自然的能力大大扩展。
在电子计算机上进行计算的理论与实践，蒙特卡洛（Monte Carlo）方法冯·诺伊曼对于数值研究的兴趣有着不同的来源。一是来源于他最初关于数理逻辑与集合论中形式主义作用的研究，他青年时期的工作是与希尔伯特将数学看作为一种有限游戏的纲领密切相关的。另一个同样强烈的动机来自他对数学物理问题的研究，这包括对古典物理中各态历经理论的纯理论性工作，以及他对量子力学的贡献。在流体动力学中，以及在原子能技术所提出的各种连续介质力学问题中，遇到了更多的实际问题，对于这些问题的日益增长的探讨，直接引导到计算问题。
我们已经简要地讨论过冯·诺伊曼对于湍流问题、一般连续介质动力学和气象计算的兴趣。我特别清楚地记得，早在洛斯阿拉莫斯计划的初期，就已明显地看到，即使是为了得到定性的解答，单靠解析研究也常常是不够的。为要解决问题，若是用手工进行数值研究，或者即便是使用台式计算机，都需要长得无法容许的时间。似乎正是这种状况，终于促使冯·诺伊曼劲头十足地去从事使用电子计算机的计算方法的研究。
有好几年时间，冯·诺伊曼一直感到，在许多流体动力学问题中——在冲击波的传播与行为中，以及一般地说当牵涉到大位移的场合而必须采用描述那些现象的非线性偏微分方程时（就是说，当线性化不能充分地近似于真实状况时），为了对未来的理论提供富有启发意义的材料，就必须进行数值研究。
这种需要迫使他从根本上去考察在电子计算机上进行计算的问题，并且在1944和1945年间，他形成了现今所用的将一组数学过程转变成计算机指令语言的基本方法。当时的电子计算机（如ENIAC）缺少今日计算机在处理数学问题时历具有的那种灵活性和普遍性。一般地说，为了使计算机能按已给程序执行指定的运算，每个问题都需要一个特殊的和不同的线路系统。冯·诺伊曼的重大贡献就是关于机器中固定的同时又相当普遍的接线系统或线路系统的思想，关于“流图” （Flow diagram）的概念，以及使机器中固定的线路系统能具有解决各种各样问题的能力的“代码”（Code）的概念。虽然对于数理逻辑学家来说，至少从逻辑上看，这种安排的可能性或许显而易见，但以当时的电子技术，要实 现这样一种普遍的方法却远不是那么容易的。
即使是在这些方法创立十年以后的今天，也常常容易低估数学物理问题中这种理论性试验所开辟的巨大可能性。这一领域仍然是新的，要作出预言似乎是冒险的，但在流体动 力学、磁流体力学和量子理论计算等方面已经积累起来的大量理论试验，使我们能够期望通过这些计算提出令人满意的综合理论。
计算机工程的发展应大大归功于冯·诺伊曼。计算机的逻辑图式，现代计算机中存储、速度、基本指令的选取以及线路等之间相互作用的设计，都深深地受到了冯· 诺伊曼思想的影响。冯·诺伊曼曾在普林斯顿高等研究所亲自督造过一台计算机，以便获得有关工程问题的实际知识，同时也是为了使手头拥有这种进行新奇试验的武器。制造这台机器所花费的时间比预计的要长，早在竣工之前，冯·诺伊曼就已埋头于设计和解决洛斯阿拉莫斯实验室某些问题中提出的大量计算。其中的一个问题是受控热核反应过程，这涉及数十亿次的初等算术运算和初等逻辑指令。问题是要对一个反应的传播问题作出“是”或“否”的回答。它并不要寻求非常精确的最终数据，但为了获得初始问题的解答，所有中间的和细节的计算似乎都是需要的。确实，对这问题的某些因素进行猜测，再加手工计算，会大大有助于说明最终的答案。为了增加这种由直觉而得到的估计的可靠程度，必须作大量的计算工作。在一些新的数学物理和现代技术问题中，这种情形似乎相当普遍。刻划这些现象并不需要天文学的精确度；在某些情形，若对行为的预报能“精确到百分之十”，人们也就满意了，但计算过程中的个别步骤却必须尽可能地保持精确。大量的初等运算就提出了估计最终结果的可靠性问题，和数学方法及其计算实现的内在稳定性问题。
在冯·诺伊曼接受原子能委员会费米奖时，人们特别提到了他对于发展在电子计算机上进行计算研究的贡献，这些贡献在原子能科学技术的许多方面都非常有用。速度超过人工计算千万倍的电子计算机，不仅在古典意义的数值分析方面，而且在数学分析本身运算的基础方面，刺激了全新的方法的发现。没有人比冯·诺伊曼更了解这里的含意了。对于此处所说的事情，我们可以举一个小小的例子，即所谓蒙特卡洛方法来加以说明。以往对于手算或甚至对于延迟计算机所发展起来的数值分析方法，对于电子计算机的计算却不一定是最优的。例如，不用初等函数表而直接计算所求函数的值，显然更为经济。其次，像化成积分来求解方程这类的手续，现在已被一些算术上极为复杂的方法所超过，这些方法对于手工计算来说是不可思议的，但在新机器上却很容易实现。可以毫不夸张地说，有数十种计算技巧，如“子程序”等等，都是由冯·诺伊曼在第二次世界大战以后那几年内首创的，它们被用于计算初等代数函数或超越函数，以及求解辅助方程等等的问题。顺便要指出的是，这些工作中有些直到现在还没有被数学界普遍采用，然而却为今天在工业和政府计划中使用计算机的大量科学技术人员所熟知。这些工作包括：求矩阵特征值与逆矩阵的方法，求多元函数极值的简便方法以及随机数的产生等等。其中大多数都表现出他在数理逻辑和算子理论的代数研究方面的早期工作中所使用的那种典型的综合技巧，往往带有一种艺术大师般的特色。
十九世纪所期望的数学物理原理的精炼的数学表述，在现代理论中似乎特别缺乏。在人们所谓的基本粒子中所发现的种类繁杂、内容丰富的结构，似乎使较早获得数学综合理论的希望减少了。在应用物理学和技术方面，人们被迫去研究那样一些情况，它们在数学上表示不同系统的混合；例如，除了其行为由力学方程所控制的基本粒子系统外，还存在着用偏微分方程来描述的相互作用的电场；或者在研究中子发生器的性质时，除了一个中子系统外，我们还要研究与这些粒子的离散集合相互作用的整个系统的流体动力学和热力学性质。
单从综合的角度看，且不提在处理某些偏微分方程和积分方程时所遇到的分析困难，目前要寻求精确解也显然是希望不大。为了哪怕只是定性地探讨这些系统的性质，我们被迫去寻求更为实际的方法。我们决定寻找这样的方法，它大致说来就是通过一种数学格式去求出已给物理问题的同态象，这种数学格式可以表示成能用电子计算机来处理的虚拟的“粒子”系统。在涉及大量独立变量的问题中，这种方法尤常用到。为了给出这种蒙特·卡洛方法的一个非常简单的具体例子，让我们来考察由一组不等式描述的 维立方体的子区域的体积计算问题。
代替通常那种把空间分割成一系列格点以逼近所求体积的做法，我们将以均匀的概率随机地选择空间中一些点，井确定（在机器上）这些点中有多少是属于已给区域的。根据概率论的基本事实，只要采用足够数量的样点，则这个比数就将以我们所希望的接近于1的概率给出有关体积的近似值。作为稍复杂一点的例子，我们来考察被一曲面包围的空间区域中的扩散问题。扩散粒子在该曲面上一部分被反射，一部分被吸收。如果区域的几何相当复杂，那么“物理地”实现大量的随机游动比经典求解积分-微分方程可能要更为经济。
这些“游动”在计算机上可以很方便地实行，这样一种方法实际上与概率论中将随机游动的研究化归为微分方程的处理过程恰好相反。
这种方法的另一个例子是：给了一组泛函方程，试将其变换成可能用概率论或博弈论去解释的等价方程。这些等价的方程允许我们在计算机上对表达该随机过程的博弈进行模拟，所获得的分布将给出关于原始方程的解的很好的想法。更进一步的希望，是要直接得到问题中物理系统行为的“同态象”。必须指出的是，在今天所研究的许多物理问题中，
最初经过某种理想化而得出的微分方程，可以说已不再是神圣不可侵犯的了。至少，在计算机上直接研究这系统的模型将更有启发价值。在二次大战末期以及随后的几年里，冯· 诺伊曼和作者本人用这种方式处理了大量的问题。最初，物理状态本身直接提出了概率解释问题。后来又研究了前述第三类问题。这种数学模型理论仍然是很不完善的。特别是关于涨落和精确度的估计；迄今没有得到发展。这里，冯·诺伊曼再一次贡献了许多天才的方法。例如通过适当的博弈产生具有给定概率分市的随机数列的方法。他还设计了处理玻尔兹曼方程的概率模型，以及水力学中某些严格的决定性问题的重要统计模型。这些工作多数都分散在各种实验报告中，或者仍然是手稿。我们当然希望在不久的将来能出版一种对数学界十分有用的系统的选集。
自动机理论，概率逻辑
香农（Shannon）教授的文章《冯·诺伊曼对自动机理论的贡献》，对这方面的工作做了介绍。这方面的工作，像博弈论中的情形一样，在过去若干年间刺激了广泛而日益增长的大量研究，我认为应列入他的最富成果的思想之中。在这里，他对于数理逻辑、电子计算机、数学分析和数学物理问题的综合兴趣，终于在建造新理论方面产生了效果。图林（Turing）、麦考洛奇（McCulloch）和匹兹（Pitts）关于用电子网络或理想神经系统来表示逻辑命题的思想，鼓舞他去提出和概括自动机的一般理论。其概念和术语来源于几个领域——数学、电子工程和神经病学。这方面的研究，在系统地描述有机体和神经系统本身活动的能力方面，现在已可望产生更多的数学成果（最初也许是处在一种极为简单化的水平上）。
原子能，在洛斯阿拉莫斯的工作
因吸收中子随之又释放更多的中子而引起的铀的裂变现象，恰好发现于第二次世界大战爆发的前夕。一些物理学家立刻认识到了通过一块铀中的指数式反应来释放巨大能量的可能性。他们开始进行讨论，对利用这种新能源的计划作定量的估计。
理论物理学家们形成了一个范围很小且比数学家结合得更紧凑的小组，一般说来，在他们之间，成果和思想的交流也更为迅速。冯·诺伊曼在量子理论基础方面的工作，使他与当时最重要的物理学家早有接触，他了解这些新的实验事实，并且从一开始就参与了他们关于裂变现象所潜藏的巨大技术可能性的探讨。战争爆发时，他已经在从事与国防问题有关的科学工作。但直到1943年底，他才受奥本海默（Oppenheimer）的邀请以顾问的身
份访问了洛斯阿拉莫斯实验室，并开始参加以制造原子弹为最终目标的工作。正加现在大家所知道的，第一次自持链式核反应是以费米（Fermi）为首的一组物理学家于1942年12月2日在芝加哥实现的。他们建造了一个核反应堆，一种由铀和减速剂组成的装置，减速剂使中子速度变慢以增加引起进一步裂变的可能性。这反应堆形成一座很大的建筑，中子数的倍增加时间相当地长。在洛斯阿拉莫斯实行的计划，目的是要在少量的铀235或铈内产生一种能导致爆炸性地释放巨大能量的快速反应。1943年暮春，科学家小组开始组成，到这一年秋天，许多卓越的理论与实验物理学家都在那里居住下来。当冯·诺伊曼来到洛斯阿拉莫斯时，那里正在试验着各种不同的将裂变物质合成为临界质量的方法；没有一种方法可以事先断定能获成功，其中遇到的一个问题是：是否可能实现一个足够快的装配，其迅速的程度，超过了会导致一种和缓的或中等的爆炸的核反应的速度,而这种爆炸将妨碍大部分材料的利用。
泰勒（E.Teller）记得，约翰尼是如何到达拉米（最靠近洛斯阿拉莫斯的车站），又是如何乘坐一辆官方的轿车被带往那座“小山”的，当时“小山”被巨大的掩蔽物包围着：
“当他到达这儿时，协调会议正在进行之中。我们的所长，奥本海默，正在报告加拿大渥太华会议的情况。他的报告提到了许多极为重要的人和同样重要的决定，其中最使我们振奋的一条消息是：可以指望不久将有一批英国人到这里来参加我们的工作。演讲结束后，他问大家是否有什么问题或意见。听众都很激动，没有人提问题。于是，奥本海默建议大家可以问一些其它方面的问题。数秒钟后，响起了一个低沉的声音（没有记录下来是谁）：‘啥时候我们山上能来一个鞋匠呢？’虽然当时没有与约翰尼讨论任何科学问题，但他断言，在那时，他已充分熟悉洛斯阿拉莫斯的性质了。”
当时的工作气氛极为热烈，并且，由于它的不拘形式和探索性，与技术或工程实验室比起来，就带有更多的大学讨论班的性质以及（可以这么说）科学讨论的抽象特征。我还记忆犹新，刚到洛斯阿拉莫斯时，我有点惊奇地发现，那儿的环境使人感到像是一群数学家在讨论他们的抽象课题，而不是工程师们在实施一项很明确的实际计划——讨论常常不拘形式地一直进行到深夜。从科学上来说，这种工作的一个明显特点是遇到的问题类型极不相同，而每一个问题对于计划的成功都同等地重要。例如，曾经遇到过数量呈指数型增长的中子在空间和时间上的分布问题；同样重要的问题有：研究原子弹材料中由裂变所引起的不断增长的能量蓄存，爆炸中流体力学运动的计算，以放射性形式出现的能量的分布，最后还有当原子弹失去临界状态后跟迹其周围物质运动过程的问题。弄清楚所有这些问题，事关重大，而它们所涉及的数学问题是很不一样的。
要在这里详细介绍冯·诺伊曼的贡献是不可能的；我想指出一些比较重要的工作。早在1944年，为了聚合裂变物质，我们研究了一种内向爆炸（implosion）方法。这方法与通过压缩而对物质造成的球形冲击有关。冯·诺伊曼、贝特（Bethe）和泰勒首先认识到这种方法的好处。泰勒把奈德梅耶（Neddermeyer）的实验情况告诉了冯·诺伊曼，他们共同合作建立了这种球面几何的主要结果。冯·诺伊曼得出结论：通过这种方法我们可以产生特别大的压力，在讨论过程中还弄清了：巨大的压力同时又会引起相当可观的压缩。为了以一种足够对称的方式开始内向爆炸，用高爆药产生的初始冲击应当通过在许多点上同时起爆而给出。塔克（Tuck）和冯·诺伊曼建议用高爆透镜来铺助实现。我们在前面已经提到过冯·诺伊曼所具有的、在数学家中也许是颇为罕见的能力：与物理学家们密切往来，理解他们的语言，并及时地将其转变成数学家的表述方式。对问题作这样一番处理后，他又能将它变回到物理学家们常用的形式。计算由内向爆炸产生的运动的最初尝试是很粗略的。对于有关的物质状态方程，我们只有不完全的了解，但即使是通过粗糙的数学近似而得到的方程，它们的解也是显式的分析方法所不能得到的。日益明显，为了获得定量上正确的结果，必须进行大量繁重的计算工作，由此看来，计算机的帮助是必不可少的。更为复杂的一个问题是核爆炸的特征的计算。爆炸过程中所释放的总能量依赖于向外运动的过程，这些运动当然由下列因素所决定：能量的储存率，材料的热力学性质以及在极高的温度下所产生的辐射等等。对于初次试验，我们应满足于近似计算；但正如前面所说，没有复杂的计算，即使是数量级也不容易估计。战争结束后，节省燃料和提高其利用率的要求，刺激了对于更精确的计算的需要。这里，冯·诺伊曼再一次在物理问题的数学处理方面作出了很大的贡献。
还是在战争期间，热核反应的可能性即已受到研究，最初只是作一些讨论，接着进行了初步的计算。作为一个富于想像的小组的一名成员，冯·诺伊曼积极参加了这一活动，这个小组探讨可能实现这样大规模反应的各种方案。在数学上，处理实现这种反应所必须的条件并研究反应过程时所涉及的问题，比裂变核爆炸过程中所遇到的问题要更为复杂（实际上，裂变核爆炸的特性是探究更大的热核反应问题的先决条件）。在一次讨论中，我们对这样一种计算过程作了大致的设想，讨论结束以后，冯·诺伊曼转身向我说道：“在实现这一计算时我们要做的初等算术运算，也许比人类以往所做过的总数还要多。”可是我们却注意到，全世界在校儿童若干年内所做的乘法总数即已明显地超过了我们的问题。
限于篇幅，我们不可能来介绍冯·诺伊曼的许多较小的技术贡献，这些贡献曾受到在这方面从事工作的物理学家和工程师们的欢迎。
冯·诺伊曼不用笔和纸就能熟练自如地估计几何大小，进行代数和数值运算。他的这种心算能力，有点类似于蒙眼下棋的本领，常常给物理学家们留下深刻的印象。我的印象则是；冯·诺伊曼并没有去摹想所研究的物理对象，而是把它们的性质当作基本物理假设的逻辑推论来加以研究；只不过他能够非常出色地对这些假设使用演绎技巧！
他的科学禀性的一个特点是：即使对于在科学上有时并不重要但却表现出一个难题的组合性吸引力的问题，他也极愿给予关注，这一特点使他博得了那些从事数学应用的人们的喜爱与欢迎。许多同他交谈的人都会受到积极的帮助，或者是得到宽慰——因为他们领悟了在数学中并没有人人皆知的，能轻而易举解决问题的魔术。他的无私的帮助，在时间上向他提出了尖锐的要求，这些帮助涉及到或许过于分散并且肯定是太多的活动（在今日的技术中，这种活动日益普遍），这里，数学的洞察力可能很有用。在第二次世界大战结束以后的岁月里，他发现差不多每分钟都会有互相冲突的问题摆在他面前需要他解决。
冯·诺伊曼坚信，由于原子能的解放而发生的技术革命，与历史上以往任何技术发现相比，将会引起人类社会特别是科学发展的更加深刻的变化。在很难得的关于他自己的幸运猜测的一次谈话中，冯·诺伊曼告诉我说，当他还很年青时，他就相信，在他所生活的时代，原子能就会获得利用并将改变人类活动的秩序！
他积极参与了关于受控热核反应的可能性的早期设想和研讨。1954年，当他成为原子能委员会成员时，他研究了与裂变反应堆的建立和运行有关的技术、经济问题。在这个职位上，他还花了许多时间去组织数学计算机器和计算方法的研究，以使它们能为大学和其它研究中心所利用。
对冯·诺伊曼各方面成就的这个片断说明，以及对他在其中留下了这么多深远影响的数学各分支的这个粗略浏览，可能会提出这样的问题，即在他的整个工作中是否有一条连贯的 线索呢？
正如庞加莱曾经说过的那样：“有一类问题是人们向数学提出的，还有一类问题则是它自身提出的。”在这位伟大的法国数学家指出这个模糊的区别约五十年后的今天，当前数学中这种分野已表现得更为明显。数学家们所研究的对象，有很多是他们自己的自由创造，往往（可以这么认为）是他们以往建筑物的特殊推广。这些对象有一些最初是受了物理图象的激发，其它一些则是从自由的数学例造本身发展而来——在某些情形预示了物理关系的真实模型。冯·诺伊曼的思想很明显地受着这两种趋势的影响。他的要求正是尽可能地保持金字塔式的数学大厦同物理学和一般自然科学所表现出来的日益增长的各种复杂事物之间的联系，这种联系似乎变得越来越不可捉摸了。
十八世纪一些伟大的数学家，特别是欧拉，成功地把许多自然现象的描述纳入了数学分析的领域。冯·诺伊曼的工作，企图使那些由集合论和现代代数发展起来的数学来扮演同样的角色。在今天，这当然是一个困难得多的任务。差不多整个十九世纪无穷小演算和继之而起的分析的发展，引起了这样的希望，即人们不仅可以清理而且将能理解为物理学发现所打开的潘朵拉之匣的内容。但是，从代数或者即使仅仅从拓扑上来说，欧几里得空间的实数系统现在已不再能被认为是物理理论唯一的或者还是最好的数学基础，单是由于这一点，上面所说的那种希望就变得相当渺茫了。十九世纪那些在数学上用微分方程、积分方程以及解析函数论来控制的物理概念，已经不够用了。在分析方面，新的量子理论需要一种在集合论上更为一般的观点，其基本概念本身涉及到概率分布和无穷维函数空间。
在代数方面，与之对应的部分是对那样一些组合或代数结构的研究，它们比仅由实数或复数所表示的结构更为一般。为此目的，人们可以综合利用由康托的集合论以及希尔伯特、魏依尔、诺德（Noether）、阿丁（Artin）、布劳厄（Brauer）等人的代数工作所汇成的全部思想。冯·诺伊曼的工作正是在这样的时候应运而生。
被最近生物科学中的基础研究刺激起来的一种新型组合分析，是普遍性的数学研究开始发展的另一个重要源泉。在这里，目前一般性方法的缺乏显得更突出。问题基本上是非线性的，并具有一种极为复杂的综合性质，在人们可望获得明确的综合理论所要求的那种见解以前，似乎还需要进行多年的实验和启发性研究。对于这种状况的了解，促使冯·诺伊曼在最后十年里作了大量的工作来致力于计算机的研究和制造，并对自动机的研究提出了一个初步的纲要。
纵观冯·诺伊曼的工作，看到它是如此分支众多和范围广阔，我们会同意希尔伯特所说：“数学科学会不会遭受保其它科学那样的厄运，即被分割成许多孤立的分支，它们的代表人物很难互相理解，它们的关系变得更松懈了？我不相信会出现这样的情况，也不希望会出现这样的情况；我认为，数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚地意识到：在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系，同时，在它的不同部分之间也
有大量的相似之处……”（希尔伯特：《数学问题》，Comptes-Rendus，2eme Congres International de mathematiques. Parie，1900.）冯·诺伊曼的工作，正是对实现数学的普适性和有机统一性这个理想的一种贡献。
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在冯·诺伊曼担任的许多科学职位中，我们要提出的有：美国数学会吉布斯（Gibbs）讲师席位（1947）；1937年他承担了美国数学会讨论会讲演； 1953年任普林斯顿大学范努克赛姆（Vannuxem）讲师席位；1951—1953他是美国数学会主席；在担任普林斯顿研究所教授期间，他在各种学术团体与研究机构作了许多讲演，这些讲演数量太大，很难在这里一一列举。
1933—1957他任普林斯顿《The Annals of Mathematics》编辑；1935—1957为《
Compositio Mathematica》（荷兰，阿姆斯特丹）编辑。
他是下列学会的会员：美国数学会，美国物理学会；经济学会；国际统计学会（荷兰
，海牙）；Sigma Xi。
他又是下列学术团体的成员：
国立自然科学院（秘鲁，里马）；
国立林且（Lincei）学院（意大利，罗马）；
美国艺术和科学会；
美国哲学会；
隆巴多（Lombardo）科学与文学研究所（意大利，米兰）；
美国科学院；
荷兰皇家科学和文学会（阿姆斯特丹）。
他被授与下列名誉（博士）学位：普林斯顿大学，1947年；宾夕法尼亚大学和哈佛大学，1947年；伊斯坦堡大学（土耳其）和马里兰大学，1950年；还有哥伦比亚大学和慕尼
黑高等技术学校。
他所获得的奖赏和荣誉有：
治克菲勒会员（1926）；
美国数学会Bocher奖（1937）；
功勋奖章（总统奖），美国海军优秀公民奖（1947）；
自由奖章（总统奖）（1956）；
阿尔伯特·爱因斯坦纪念奖（1956）；
恩里科·费米奖（1956）。
他的科学与组织活动，开一张不完全的单子，包括以下职位：
1940-1957，马里兰阿伯丁试验场弹道研究实验室科学顾问委员会成员；
1941-1955，海军军械局，华盛顿；
1943-1955，洛斯阿拉莫斯实验室顾问；
1947-1955，马里兰银泉海军军械实验室顾问，
1949-1953，研究与发展委员会成员，华盛顿；
1949-1954，奥克里奇国立实验室顾问，田纳西，奥克里奇；
1950-1955，陆军特种武器设计委员会成员，华盛顿；
1951-1957，美国空军华盛顿科学顾问委员会成员，华盛顿；
1952-1954，总统指定的一般咨询委员会成员；
1953-1957，原子能技术顾问小组成员，华盛顿；
1954-1957，导弹顾问委员会主席（1956年由克拉克·密立根任执行主席）。
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