关系的闭包运算
对集X上的二元关系R，有时候希望R具有一些有用的性质，这就需要在R中增加一些序偶，但又希望R不要变得太大。闭包运算就能解决这一问题。
定义3.8.1 设R为X上的二元关系，若有另一个关系R′满足：
1） R′是自反的（对称，可传递的）；
2） R′ÊR；
3）对任何自反的(对称的，传递的)关系R″，若R″ÊR，就有R″Ê R′，则称关系R′为R的自反（对称，传递）闭包，记作：
r ( R ), (S (R),t (R))
定理3.8.1 设R为X上的二元关系，则
1）R是自反的，当且仅当r(R)=R；
2）R是对称的，当且仅当S(R)=R；
3）R是传递的，当且仅当t(R)=R。
证明：1）若R自反的，因RÊR，且任何包含R的自反关系R″，有R″ÊR，故R为自反闭包，即 r(R)=R。反之，若r(R)=R，则必自反。
具体如何求X上关系R的闭包呢？下面给出方法。
设R为非空集X上的二元关系，则
1）r(R)=R＝RÈIX
2）S(R)=RÈR C
3)t(R)=RÈR 2ÈR 3 È ……
证：
1）设R′＝RÈIX ，则称任xÎX,<x,x>ÎR′
故R′在X上自反。
又RÍ RÈIX，故RÍ R′。
若有自反关系R″且RÍR″，则IX ÍR″
故 R″Ê IX ÈR＝R′
所以 r(R)=RÈ IX
2）令R′=RÈR，因RÍ RÈR C即R′ÊR，
又设<x, y>Î R′，则<x, y>ÎR或<x, y>Î R C
即<y, x>Î R C或<y, x>ÎR
故<y, x>ÎRÈR C，故R′是对称的。
设R″是对称的且R″ÊR，则对任<x, y>ÎR′
则<x, y>Î R或 <x, y>ÎR C
当<x, y>Î R则<x, y>ÎR″
当<x, y>Î R C则<y, x>ÎR, <y, x>ÎR″
因R″对称，故<x, y>ÎR″，故R′ÍR″
即S(R)= RÈR C
3）明：略
例： A={a, b, c}, R={<a, b>,<b, c>,<c, a>},求r(R),S(R),t(R).
解：r(R)= RÈ IA
={<a, b>, <b, c>, <c, a>, <a, a>, <b, b>, <c, c>}
S(R)= RÈR C ={<a, b>,<b, a>,<b, c>,<c, b>,<c, a>,<a, c>}
为求t(R)先求R2，R3，R4
即R2＝{<a, c>,<b, a>,<c, b>}
R3={<a, a>,<b, b>,<c, c>}
R4=R
可见R= R4=R3n+1
R2= R6= R3n+2
R3= R6= R3n+3
故t (R) = RÈR 2ÈR 3
= {<a, a>, <b, b>, <c, c>, <a, b>, <b, c>, <c, a>
<a c>, <b, a>, <c, b>}
