法国数学大师——彭加勒(Poincaré)
Dynamics @ 2005-03-14 22:40
法国数学大师——彭加勒(Poincaré)
介绍巴黎的旅游手册都会提到位于市内的三大墓园─拉歇兹神父墓园、蒙马特墓园、
与蒙帕拿斯墓园。游客如果行程不紧凑，手册建议不要错过在这些「花团锦簇、蝴蝶纷飞
的公园」中和「古今名人神交的机会」。前次到巴黎，空闲时间多一些，某一天就从花神
与双叟两咖啡店旁的圣杰曼德佩广场往南走向蒙帕拿斯区。那天有点阴，是逛街的天气。
进了蒙帕拿斯墓园，拿了墓园导览，先往右边走去，墓园的明星居民─存在主义哲学家萨
特（Jean-Paul Sartre，1905-1980）与他的伴侣女性主义者西蒙波娃（Simone de Beauv
oir，1908-1986）就一起住在那里。
就如同旅游手册所说，两人的墓离入口处不远，位于路边很好找。当天墓园游客不多
，有人拿着鲜花探望故去的亲人，也有一小队送葬人群。我在沙、波墓旁的椅子坐下，打
开墓园导览，看看还有什么听过的名人，有作家阿宏（R. Aron）、莒哈丝（M. Duras）、
莫泊桑（Maupassant）、然后很惊讶地发现彭加勒（Henri Poincare，1854-1912）也埋在
这里。对于研习数学与物理的人来说，彭加勒是超级大人物，可列入古今十大数学家之一
，而旅游导引竟全然不提！以对于其各自领域的贡献而言，依我的偏见，沙特根本无法与
彭加勒相比。彭的墓位于墓园较偏僻的地方，在围墙边，不是很好找。其实彭是与家人埋
在一起，所以是家族墓。彭的家族在当时算是显赫：他的父亲是医学教授，堂兄当过法国
总理。看到他们家族寂寥的身后住所，很难不兴天地悠悠之感。
彭加勒的数学贡献大又多，一般认为他开创了代数拓朴（algebraic topology）、多
复变函数、及混沌（chaos）理论。另外关于自守函数（automorphic function）、天体力
学、特殊相对论、科学与数学哲学等的研究也都独树一格，影响深远。他是唯一能在法国
科学院五个学门（几何、力学、物理、地理、航海）全入选为院士的人。现今已找不到和
他一样，能自由出入数学与科学各个领域的天才了。他的著作不少，其中《天体力学的新
方法》已成经典。几本较通俗的书如《科学与假设（Science and Hypothesis）》、《科
学与方法（Science and Method）》，书店还买得到。
在彭加勒的贡献之中，混沌现象的发现颇有些戏剧性。故事要从一项国际竞赛说起。
瑞典与挪威的国王奥斯卡二世（Oscar II）为了庆祝他在一八八九年元月的六十岁生日，
设立了奖金颇丰的数学竞赛。这类竞赛在当时已有悠久传统，用意在鼓励解决某些特定数
学问题。其实对优胜者来讲，物质报酬还在其次，名望才重要。奥斯卡二世本人念大学时
的数学成绩不错，与数学家也有交往，常支助数学出版事业。所以他会设立这项竞赛，不
算奇怪。
斯德哥尔摩名数学教授米塔格─雷弗勒（G. Mittag-Leffler）是期刊《数学学报（A
cta Mathematics）》的创办人兼总编辑，此次国王生日竞赛事宜由他负责。他自一八八四
年起就开始筹画，主要是组成评审团并订出题目来。为了彰显竞赛的国际色彩，米塔格─
雷弗勒找了德国的外尔斯特劳斯（K. Weierstrass）、法国的厄密特（C. Hermite）两位
数学资深大师来命题与评审。《数学学报》在一八八五年，以德文与法文正式宣布了这项
竞赛，同时公告奖金数额与四个题目。其中第一个问题由外尔斯特劳斯执笔，其叙述是「
考虑一群带质量的点粒子，数目任意，彼此以牛顿万有引力相吸。请用一均匀收敛级数表
示每个粒子于任何时间所处位置的坐标，级数的每一项为已知函数。」落实在具体的例子
上，此一题目就是希望能证明太阳系是稳定的。
到一八八八年六月一日的竞赛截止日止，共收到十二篇论文。结果彭加勒以应征第一
个问题的论文《三体问题与动力学方程序》获奖。从评审团的角度，这篇论文毫无疑问是
最佳论文，里面提出了很多处理动力学系统的新概念与技巧，尤其是彭加勒强调整体观，
着重方程序解的「性质」，而不是解的精准量值。彭加勒证明均匀收敛级数并非适用于所
有的情况。这篇文章有些难度，彭加勒也没有仔细的证明每个定理，因此以严谨着称的外
尔斯特劳斯还在担心论文是不是有漏洞。但是因为时间有限，体力欠佳的他也没能具体找
到错误。《数学学报》原本打算在一八八九年底注销得奖论文，然而米塔格─雷弗勒的一
位同事觉得论文有些地方不太对劲，询问彭加勒后，彭才发现论文的另一处有个大错。虽
然那一期《数学学报》尚未正式出刊，不过已经私下送出了许多份给行内的人。这实在是
很尴尬，米塔格─雷弗勒施出强烈手段，将才送的期刊一一追回。同时尽一切力量，压下
可能的杂音。
彭加勒的懊恼可想而知，他的错误可以说是下意识的错误。因为他的结果固然指出三
体问题比想象更为复杂，但他也从未预期三体或多体系统真的可能不稳定，所以他忽略了
一个重要的情况。以术语讲，就是他忽略了同宿点（homoclinic point）的存在。当他把
错误更正过来以后，人类才头一回见识到所谓的混沌，大略地讲，也就是表面上看毫不为
奇的微分方程序可以有无穷复杂难以掌握的解。更正后的论文发表在一八九○年的《数学
学报》，马上被认为是划时代的杰作。一般人完全不知道上述这段转折，近几年才有科普
书把故事说出来。
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